Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:38 3 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(12 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 22: Línea 22:
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y que cuando &nbsp;
+
&nbsp; y que podemos elegir &nbsp;
<math>
<math>
-
n \to \infty
+
A_n
</math>
</math>
-
, &nbsp;
+
&nbsp; tan cercano como queramos a <math>
 +
A
 +
</math>
 +
haciendo
<math>
<math>
-
A_n \to A
+
n
-
</math>.
+
</math>
 +
lo suficientemente grande
 +
<math>
 +
\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).
 +
</math>
<br/>
<br/>
-
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
+
La recta &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; que pasa por los puntos
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
y &nbsp;
<math>
<math>
A_n
A_n
</math>
</math>
-
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; es una secante a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
+
</math>. Así, para cada &nbsp;
<math>
<math>
-
A_n
+
n \in \mathbb{N}
-
</math>. Sea &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s_n
+
</math>
</math>
-
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
+
&nbsp; existe una secante que pasa por &nbsp;
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y por &nbsp;
+
<math>
<math>
A_n
A_n
-
</math>
+
</math>.
-
.
+
<br/>
<br/>
Línea 69: Línea 72:
<br/>
<br/>
-
Cuando &nbsp;
+
Cuando
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a &nbsp;
<math>
<math>
\infty
\infty
Línea 81: Línea 84:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el punto &nbsp;
<math>
<math>
A
A
-
</math>, &nbsp;
+
</math>. Denotamos esta tangente por
<math>
<math>
t
t
-
</math>:
+
</math>.
-
 
+
-
<br/>
+
-
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
s_n \to t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
Línea 107: Línea 102:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
+
&nbsp; tienda a la pendiente de la tangente
<math>
<math>
t
t
</math>
</math>
-
&nbsp; cuando &nbsp;
+
cuando
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a
<math>
<math>
\infty
\infty
-
</math>. La pendiente de &nbsp;
+
</math>. Como la pendiente de &nbsp;
<math>
<math>
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; es una [[Tasas de variación|tasa de variación media]], mientras que la
+
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
-
pendiente de &nbsp;
+
media]]:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
 +
\right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
 +
</math>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
(<math>
 +
A_{n,x} \, =
 +
</math>
 +
&nbsp; abcisa de &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>)
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
su limite cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n \to \infty
 +
</math>
 +
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; en &nbsp;
 +
<math>
 +
A_x
 +
</math>.
 +
&nbsp; Es decir, la pendiente de
<math>
<math>
t
t
</math>
</math>
-
&nbsp; es una [[Tasas de variación|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de deriviada|derivada]] de &nbsp;
+
es la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}

Revisión actual

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que podemos elegir   
A_n
  tan cercano como queramos a 
A
haciendo 
n
lo suficientemente grande 
\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).


La recta   
s_n
  que pasa por los puntos 
A
y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función 
\mathrm{f}
. Así, para cada   
n \in \mathbb{N}
  existe una secante que pasa por   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando 
n
tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función 
\mathrm{f}
en el punto   
A
. Denotamos esta tangente por 
t
.


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de la tangente 
t
cuando 
n
tiende a 
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.   Es decir, la pendiente de 
t
es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.