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Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 36: Línea 36:
</math>
</math>
<math>
<math>
-
\left( \, n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right)
+
\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).
</math>
</math>
Línea 45: Línea 45:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; que pasa por los puntos &nbsp;
+
&nbsp; que pasa por los puntos
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
y &nbsp;
<math>
<math>
A_n
A_n
</math>
</math>
-
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; es una secante a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
</math>. De esta forma, hay una secante &nbsp;
+
</math>. Así, para cada punto &nbsp;
-
<math>a
+
<math>
-
s_n
+
n \in \mathbb{N}
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; para cada punto &nbsp;
+
&nbsp; existe una secante que pasa por &nbsp;
<math>
<math>
A_n
A_n
Línea 73: Línea 73:
<br/>
<br/>
-
Cuando &nbsp;
+
Cuando
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a &nbsp;
<math>
<math>
\infty
\infty
Línea 85: Línea 85:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el punto &nbsp;
<math>
<math>
A
A
-
</math>, &nbsp;
+
</math>. Denotamos esta tangente por
<math>
<math>
t
t
Línea 153: Línea 153:
<math>
<math>
A_x
A_x
-
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
+
</math>.
 +
&nbsp; Es decir, la pendiente de
<math>
<math>
t
t
</math>
</math>
-
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
+
es la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}

Revisión de 17:49 2 ene 2011

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que cuanto mayor es 
n
mas cerca esta el punto   
A_n
  de 
A

\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).


La recta   
s_n
  que pasa por los puntos 
A
y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función 
\mathrm{f}
. Así, para cada punto   
n \in \mathbb{N}
,   existe una secante que pasa por   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando 
n
tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función 
\mathrm{f}
en el punto   
A
. Denotamos esta tangente por 
t
.


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de la tangente 
t
cuando 
n
tiende a 
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.   Es decir, la pendiente de 
t
es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


   
 
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