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Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.43.246.80 (Talk); a la última edición de Fjmolina)
Línea 1: Línea 1:
 +
Consideremos la grafica de una función  
Consideremos la grafica de una función  
<math>
<math>
Línea 22: Línea 23:
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y que cuando &nbsp;
+
&nbsp; y que cuanto mayor es
<math>
<math>
-
n \to \infty
+
n
</math>
</math>
-
, &nbsp;
+
mas cerca esta el punto &nbsp;
<math>
<math>
-
A_n \to A
+
A_n
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp; de
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
<math>
 +
\left( \, n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right)
 +
</math>
<br/>
<br/>
-
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
+
La recta &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; que pasa por los puntos &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 44: Línea 56:
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
+
</math>. De esta forma, hay una secante &nbsp;
-
<math>
+
<math>a
-
A_n
+
-
</math>. Sea &nbsp;
+
-
<math>
+
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
+
&nbsp; para cada punto &nbsp;
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y por &nbsp;
+
<math>
<math>
A_n
A_n
-
</math>
+
</math>.
-
.
+
<br/>
<br/>
Línea 91: Línea 95:
<math>
<math>
t
t
-
</math>:
+
</math>.
-
 
+
-
<br/>
+
-
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
s_n \to t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
Línea 107: Línea 103:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
+
&nbsp; tienda a la pendiente de la tangente
<math>
<math>
t
t
</math>
</math>
-
&nbsp; cuando &nbsp;
+
cuando
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a
<math>
<math>
\infty
\infty

Revisión de 12:48 2 ene 2011

Consideremos la grafica de una función   
\mathrm{f}
. Tomemos un punto   
A \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x  \, \right) \,
</pre>
<p>\right)
  en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
  en la grafica de   
\mathrm{f}
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   
A
  y que cuanto mayor es 
n
mas cerca esta el punto   
A_n
  de 
A

\left( \, n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right)


La recta   
s_n
  que pasa por los puntos   
A
  y   
A_n
  es una secante a la grafica de la función   
\mathrm{f}
. De esta forma, hay una secante   a
s_n
  para cada punto   
A_n
.


Imagen:tangente.png


Cuando   
n
  tiende a   
\infty
,   
s_n
  tiende a la tangente a la grafica de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
A
,   
t
.


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   
s_n
  tienda a la pendiente de la tangente 
t
cuando 
n
tiende a 
\infty
. Como la pendiente de   
s_n
  es una tasa de variación media:



\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
</p>
<pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</pre>
<p>


(
A_{n,x} \, = 
  abcisa de   
A_n
)


su limite cuando   
n \to \infty
  es una tasa de variación instantánea, la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
; es decir la pendiente de   
t
  es la derivada de   
\mathrm{f}
  en   
A_x
.


   
 
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