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Resolución de triángulos

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Conocemos un lado y dos angulos


Los angulos de un triángulo suman 
\pi
radianes, por lo tanto, si conocemos dos angulos   
\alpha
  y 
\beta
de un triángulo podemos hallar el tercero, 
\gamma
utilizando la igualdad:


\gamma = \pi - \alpha - \beta

Supongamos que, ademas, conocemos la longitud del lado 
a
y que queremos conocer la longitud de los otros dos lados 
b
y 
c
,


Para hallar 
b
podemos utilizar el teorema del seno:


\frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, \alpha \, \right)} = \frac{b}{\mathrm{sen} \left(
</p>
<pre>   \, \beta \, \right)} = \frac{c}{\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>

Del que se deduce que


b = \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen} \left( \,
</p>
<pre>   \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>

Analogamente, se deduce que


c = \mathrm{sen}\left( \,  \gamma \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen}\left( \,
</p>
<pre>   \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>


Conocemos dos lados y el angulo que forman


Supongamos que conocemos 
a
, 
b
y 
\gamma
.


En este caso se utiliza el teorema del coseno


c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)

para calcular 
c
:


c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)}


Una vez hallado c, calculamos 
\alpha
y 
\beta
mediante el teorema del seno:



\alpha  = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, a \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


\beta  = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, b \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


Conocemos dos lados y otro angulo que no es el angulo que forman


Supongamos que se conocen los lados 
a
y 
b
y el ángulo 
\beta 
.


Podemos utilizar el teorema del seno para hallar 
\alpha 
:


\frac{\mathrm{arc}  \mathrm{sen} \left(  \, \alpha  \, \right)}{a}  = \frac{\mathrm{arc}
</p>
<pre> \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)}{b} 
</pre>
<p>

con lo cual


\alpha = \mathrm{arc} \mathrn{sen}  \left( \, \frac{\mathrm{sen} \left( \, \beta
</p>
<pre>     \, \right)}{b} \cdot a \, \right)
</pre>
<p>

Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso de que se tengan dos angulos y un lado.


Conocemos tres lados y ningún angulo


En este caso hay que determinar todos y cada uno de los ángulos del triángulo. Para ello se utiliza el teorema del coseno. Por ejemplo, de


a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

se deduce que


\alpha = \mathrm{arc} \cos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Analogamente, se tiene que:


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