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Resolución de triángulos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 157: Línea 157:
\alpha
\alpha
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Línea 170: Línea 173:
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Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso
de que se tengan [[Resolución de triángulos#Conocemos un lado y dos ángulos|dos ángulos y un lado]].
de que se tengan [[Resolución de triángulos#Conocemos un lado y dos ángulos|dos ángulos y un lado]].

Revisión de 00:22 6 nov 2010

Tabla de contenidos

Conocemos un lado y dos ángulos


Supongamos que conocemos la longitud del lado 
a
y los ángulos 
\alpha 
y 
\beta 
.

Los ángulos de un triángulo suman 
\pi
radianes, por lo tanto, como conocemos los ángulos   
\alpha
  y 
\beta
del triángulo podemos hallar 
\gamma
utilizando la igualdad:


\gamma = \pi - \alpha - \beta


Para hallar 
b
podemos utilizar el teorema del seno:



\frac{a}{\mathrm{sen}\left( \, \alpha \, \right)} = \frac{b}{\mathrm{sen} \left(
</p>
<pre>   \, \beta \, \right)} = \frac{c}{\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>

Del que se deduce que


b = \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen} \left( \,
</p>
<pre>   \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>

Analogamente, se deduce que


c = \mathrm{sen}\left( \,  \gamma \, \right)\cdot \frac{a}{\mathrm{sen}\left( \,
</p>
<pre>   \alpha \, \right)} 
</pre>
<p>


Conocemos dos lados y el ángulo que forman


Supongamos que conocemos 
a
, 
b
y 
\gamma
. En este caso se utiliza el teorema del coseno



c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)

para calcular 
c
:


c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \left( \, \gamma \, \right)}


Una vez hallado c, calculamos 
\alpha
y 
\beta
mediante el teorema del seno:



\alpha  = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, a \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


\beta  = \mathrm{arc} \mathrm{sen} \left( \, b \cdot \frac{\mathrm{sen}\left ( \gamma \right)}{c} \right)


Conocemos dos lados y otro ángulo que no es el ángulo que forman


Supongamos que se conocen los lados 
a
y 
b
y el ángulo 
\beta 
. Podemos utilizar el teorema del seno para hallar 
\alpha 
:



\frac{\mathrm{arc}  \mathrm{sen} \left(  \, \alpha  \, \right)}{a}  = \frac{\mathrm{arc}
</p>
<pre> \mathrm{sen} \left( \, \beta \, \right)}{b} 
</pre>
<p>

con lo cual


\alpha = \mathrm{arc} \mathrn{sen}  \left( \, \frac{\mathrm{sen} \left( \, \beta
</p>
<pre>     \, \right)}{b} \cdot a \, \right)
</pre>
<p>


Una vez realizado este calculo se procede como se ha descrito antes en el caso de que se tengan dos ángulos y un lado.


Conocemos tres lados y ningún ángulo


En este caso hay que determinar todos y cada uno de los ángulos del triángulo. Para ello se utiliza el teorema del coseno. Por ejemplo, de


a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

se deduce que


\alpha = \mathrm{arc} \cos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Analogamente, se tiene que:



\begin{array}{l}
\beta = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
\\
\\
\gamma = \mathrm{arc} \cos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\end{arry}

   
 
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