Reducción de las razones trigonométricas

De Wikillerato

En este apartado veremos que las razones trigonométricas de cualquier angulo son calculables a partir de las de ángulos comprendidos entre $0^\circ$ y $45^\circ$ .

Para ello utilizaremos la siguiente tabla:

Por ejemplo, para conocer cual es la relación entre el coseno de $\, 90^\circ \, + \, \alpha \,$ y las razones trigonometricas de $\alpha$ , mirariamos a la celda situada en la quinta columna y segunda fila, para encontrar que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Las relaciones que muestran la tabla se pueden obtener a partir de la formulas del coseno y del seno de la suma y de la diferencia de dos angulos. Por ejemplo:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, + \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{cos} \left( <pre> \, 90^\circ \, </pre> \right) \cdot \mathrm{cos} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, - \, \mathrm{sen} \left( <pre> \, 90^\circ \, </pre> \right) \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) <pre>\, = \, 0 \cdot \mathrm{cos} </pre> \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, - \, 1 \cdot \mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, \alpha \, </pre> \right)$

Otra manera de obtener las relaciones que muestran la tabla es representando ambos angulos en la circunferencia goniometrica. Por ejemplo, si representamos en la circunferencia goniometrica $\alpha$ y $180^\circ \, - \, \alpha$ :

se observa facilmente que el coseno de $180^\circ \, - \, \alpha$ , la abcisa ( x ) del punto $P^\prime$ , coincide con el opuesto del coseno de $\alpha$ , la abcisa del punto $P$ , y que el seno de $180^\circ \, - \, \alpha$ , la ordenada ( y ) del punto $P^\prime$ , coincide con el seno de $\alpha$ , la abcisa del punto $P$ .

El mismo ejercicio se puede realizar con el resto de los angulos que se consideran en la tabla. Invitamos al lector que compruebe por si mismo, mirando a la figura de abajo, que las relaciones entre las razones trigonometricas de $-\alpha$ y $\alpha$ que aparecen en la tabla son correctas.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de como se puede utilizar la tabla de arriba para calcular la tangente de $945^\circ$ :

Si dividimos $945^\circ$ entre $360^\circ$ obtenemos como cociente $2$ y como resto $225^\circ$ . Es decir:

$945^\circ \, = \, 2 \cdot 360^\circ \, + \, 225^\circ$

Utilizando la segunda columna de la tabla anterior, con $\alpha \, = \, 225^\circ$ y $k \, = \, 2$ , tenemos que:

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{cos} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{sen} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

Así

$\mathrm{tg} \left( <pre> \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 225^\circ \, + \, 2 \cdot 360^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 225^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 225^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \mathrm{tg} \left( <pre> \, 225^\circ \, </pre> \right)$

Por otra parte

$ <pre> 225^\circ \, = \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> $

A partir de la cuarta fila de la tabla deducimos que:

$\mathrm{sen} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$

$\mathrm{cos} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ </pre> \right) \, = \, -\mathrm{cos} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$

Por lo tanto,

$\mathrm{tg} \left( <pre> \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{sen} \left( \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, \right) </pre> } { <pre> \mathrm{cos} \left( \, 180^\circ \, + \, 45^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \frac { <pre> -\mathrm{sen} \left( \, 45^\circ \, \right) </pre> } { <pre> -\mathrm{cos} \left( \, 45^\circ \, \right) </pre> } \, = \, \mathrm{tg} \left( <pre> \, 45^\circ \, </pre> \right)$