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Razones trigonométricas

De Wikillerato

Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.


Image:triangulo.gif


Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente forma:

El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es la cosecante:



\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}



\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}


El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa es la secante:



\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{hipotenusa}}



\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto contiguo}}


La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su inversa es la contangente:



\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto contiguo}}



\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{cateto opuesto}}


Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo   
\alpha
  que forma el eje   
X
  con el radio de una circunferencia de radio   
1
  y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniometrica.


Image:circulo.png


En este caso



\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad
</p><p>



\mathrm{cos} \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}



\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}


Aplicando el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo de la figura de arriba cuya hipotenusa es el segmento   
\overline{OP}
, deducimos que:



x^2 \, + \, y^2 \, = \, 1


Es decir



\mathrm{cos}^2 \alpha \, + \, \mathrm{sen}^2 \alpha \, = \, 1


Siendo esta ultima igualdad cierta para cualquier angulo   
\alpha
. Esta igualdad es muy importante ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas. A partir de ella se pueden derivar otras. Por ejemplo, si dividimos la igualdad anterior por   
\mathrm{cos}^2 \alpha 
  se obtiene:



1 \, + \, \mathrm{tg}^2 \alpha \, = \, \mathrm{sec}^2 \alpha


El angulo   
\alpha
  aumenta si movemos el punto   
P
  en la circunferencia de manera que el radio   
\overline{OP}
  gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.


Si   
P
  esta a la derecha del eje   
Y,
  entonces   
x > 0.
  En caso contrario, se tiene que   
x < 0.
  Si   
P
  esta por encima del eje   
X,
  entonces   
y > 0.
  En caso contrario, se tiene que   
y < 0.


Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El signo de las razones de un angulo   
\alpha
  depende de en que cuadrante este situado   
P
. Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente:


Image:tabla.gif


   
 
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