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Radicales

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

Definición

Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática función recíproca|recíproca.

Se puede anotar de las formas:

y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

a = b^n \iff  b = \sqrt[n]{a}.

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Imagen:Funcion_raiz_1.png

Cambiando de escala:


La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: \sqrt{x} en vez de \sqrt[2]{x}.
La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencia:

\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en {0,+ ∞}. De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar \sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ... a los números positivos.


Propiedades

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.

\sqrt[n]{a} = \ a^{1/n}.
Ejemplo
\sqrt[4]{x^3} = \ x^{3/4}.


Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};

con n distinto de cero (0).

{{{2}}}


Ejemplo
\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4  = 12

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12

El 3 elevado a la dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarce quedando 3

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}};

con n distinto de cero (0).

{{{2}}}



Ejemplo
\sqrt{\frac{9}{4}}  =  \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}}   =  \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}} = \frac{x}{y^3}
Ejemplo
  • (\sqrt[4]{a^2})^8  =  (\ a^{2/4})^8 = \sqrt[4]{a^{16}}

El tres elevado a las dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarce quedando 3

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a};

con n y m distintos de cero (0).

{{{2}}}


Ejemplo
\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[27]{5}


Como se indica con la igualdad y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.

La función raíz es creciente.

Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.    
 
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