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Puntos y rectas notables de los triángulos

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Tabla de contenidos

Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo ABC son:

las mediatrices, m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}, que se cortan en un punto llamado circuncentro C ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, n_A  ,n_B , n_C, que se cortan en el baricentro, B, centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, b_A  ,b_B , b_C, que se cortan en el incentro I, centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, h_A  ,h_B , h_C, que se cortan en el ortocentro, O \ .

Imagen:13Triangulos.gif

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.


Imagen:DibujoTecnico_I-2_13.gif


En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_14.gif


En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_15.gif

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_16.gif

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo ABC obtenemos el triángulo MPN \ que tiene el mismo baricentro que ABC y sus medianas miden la mitad que las de ABC.

Además los lados de MPN \ miden la mitad que los lados de ABC y la superficie de MPN \ es la cuarta parte de la superficie de ABC, pues podemos comprobar que al trazar MPN \ se han definido otros tres triángulos iguales: BMP, PCN y AMN.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_17.gif

Consideramos una mediana AP. Si B es el baricentro se cumple que AB = 2BP.

Se cumple también que si se dibuja BY, la mediana de la mediana AP, ésta corta al lado AC siendo: ZC=2AZ.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_18.gif

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_19.gif

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_20.gif

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_21.gif

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo ABC se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro I pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a ABC.

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde I a uno de ellos, por ejemplo al lado c, obteniendo Tc y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que ATc=ATb, \ BTc=BTa y CTa=CTb.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_22.gif

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Suma de vectores

En un triángulo ABC, cuyo circuncentro es C y su ortocentro es O \ , se verifica que el vector CO es igual a la suma de los vectores CA \ + \ CC \ + \ CB.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_23.gif


Recta de Simson

Sea un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de ABC desde un punto arbitrario P de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos P con el ortocentro de ABC el punto medio M del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_27.gif

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, X.

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: BC = BO/2.

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de CO, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_28.gif

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo ABC. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_29.gif

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo ABC.

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices A, B \ y \ C.

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_30_thumb.gif

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo ABC es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ABC”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_31_thumb.gif

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