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Puntos y rectas notables de los triángulos

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos

Recta de Simson

Sea un triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si trazamos rectas perpendiculares a los lados de ABC desde un punto arbitrario P de la circunferencia, los pies de dichas perpendiculares están alineados en una recta que se llama recta de Simson.

Si unimos P con el ortocentro de ABC el punto medio M del segmento obtenido está sobre la recta de Simson y sobre la circunferencia de Feuerbach de ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_27.gif

Recta de Euler

La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, X.

La distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: BC = BO/2.

El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de CO, segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_28.gif

Propiedad de las mediatrices y las bisectrices

Sea un triángulo ABC. La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de la circunferencia circunscrita.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_29.gif

Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo

Trazamos las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo ABC.

Estas bisectrices serán perpendiculares en cada vértice a las bisectrices del ángulo interior del mismo, ya que los ángulos son suplementarios. Se cortarán dos a dos en tres puntos llamados exincentros que son los centros de las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estas circunferencias son tangentes a las tres rectas definidas por los vértices A, B \ y \ C.

El triángulo definido por los exincentros tiene como triángulo órtico a ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_30_thumb.gif

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Teorema de Feuerbach

El teorema de Feuerbach dice: “La circunferencia de Feuerbach de un triángulo ABC es tangente común a la circunferencia inscrita y a las tres circunferencias exinscritas de ABC”.

Para comprobarlo trazamos dichas circunferencias y hallamos los puntos de tangencia respectivos uniendo ordenadamente sus centros.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_31_thumb.gif

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