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Proporcionalidad directa

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===Características generales===
===Características generales===
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Consideramos que una variable <math>x</math> puede adquirir los valores <math>a,b,c,d,...</math> y otra variable y los valores <math>a' , b' , c' , d' , ...</math> <math>x</math> e <math>y</math> son directamente proporcionales si <math>a/a' = b/b' = c/c' = d/d'...</math>
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Consideramos que una variable '''x''' puede adquirir los valores '''a,b,c,d,...''' y otra variable los valores '''a' , b' , c' , d' , ...''' '''x''' e '''y''' son directamente proporcionales si
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<math>\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}...</math>
===Teorema de Tales===
===Teorema de Tales===
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Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas: <math>VA/VA'=AB/A'B'=BC/B'C'=..........</math>
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Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas:
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<math>VA'/VA''=A'B'/A''B''=B'C'/B''C''=.......</math>
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<math>\frac{VA}{VA'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =..........</math>
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<math>\frac{VA'}{VA''} = \frac{A'B'}{A''B''} = \frac{B'C'}{B''C''} =.......</math>
[[Imagen:21Proporcionalidaddirecta.gif]]
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Línea 14: Línea 18:
En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón <math>BB'</math>.
En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón <math>BB'</math>.
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En nuestra figura vemos que la altura <math>h = VV' </math> es la incógnita de esta igualdad: <math>VV ' / BB' = V 'O / B ' O </math>, luego
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En nuestra figura vemos que la altura <math>h = VV' </math> es la incógnita de esta igualdad:
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<math>h= VV' = V 'O \cdot BB' / B'O </math>
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<math>\frac{VV'}{BB'} = \frac{V'O}{B'O}</math>, luego
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<math>h = VV' = V 'O \cdot \frac{BB'}{B'O}</math>
[[Imagen:DibujoTecnico I-5 1.gif]]
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Línea 22: Línea 28:
El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:
El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:
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<math>BA/MA = BC/MN = CA/NA</math>
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<math>\frac{BA}{MA} = \frac{BC}{MN} = \frac{CA}{NA}</math>
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<math>MA/NA=BM/CN= BA/CA</math>
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<math>\frac{MA}{NA} = \frac{BM}{CN} = \frac{BA}{CA}</math>
De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:
De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:
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<math>BA/CA = MA/NA</math>
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<math>\frac{BA}{CA} = \frac{MA}{NA}</math>
[[Imagen:DibujoTecnico I-5 2.gif]]
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===Aplicaciones del teorema de Tales===
 
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Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
 
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====División de un segmento en partes proporcionales====
 
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Para dividir un segmento '''AD ''' en partes proporcionales a las partes '''A’B’, B’C’ y C’D’ ''' dadas, trazamos una recta que pase por '''A''' definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo '''D’ ''' trazamos la recta '''DD’ '''. Trazamos paralelas a '''DD’ ''' por los puntos '''B’''' y '''C’ '''. Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos '''B''' y '''C'''.
 
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Por el teorema de Tales, se cumplirá que '''AB/A’B’=BC/B’C’=CD/C’D’'''.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 3.gif]]
 
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====División de un segmento en partes iguales. ====
 
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Para dividir un segmento '''AB''' dado en '''n''' partes iguales, trazamos una recta que pase por '''A'''.
 
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Situamos sobre ella '''n''' partes iguales, que numeramos. En este caso '''n=9'''. Dibujamos la recta '''9B''' y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.
 
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Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre '''AB''' son iguales.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 4.gif]]
 
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====Demostración del teorema de la bisectriz====
 
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La bisectriz del ángulo '''BAC''' de un triángulo '''ABC''' divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.
 
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Consideramos el triángulo '''ABC''' y su bisectriz '''AD'''. Según el teorema: '''BD/DC=AB/AC. '''
 
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Vamos a comprobarlo:
 
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Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
 
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Por el teorema de Tales, se cumple que: '''BD/DC=AB/AE'''.
 
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Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
 
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Como '''BAD=DAC''' tenemos que '''AEC=ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC=AE'''.
 
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Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que '''BD/DC=AB/AC'''.
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 5.gif]]
 
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El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior '''MAC. '''
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 6.gif]]
 
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====Cuarta proporcional de tres segmentos====
 
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Dados tres segmentos '''a, b y c''', se llama magnitud '''cuarta proporcional''' de ellos a un segmento '''d''' que verifica: '''a/b=c/d'''.
 
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''c''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
 
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Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''c'''. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: '''a/b=c/d'''
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 7.gif]]
 
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====Tercera proporcional de dos segmentos====
 
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Dados dos segmentos '''a''' y '''b''', se llama magnitud '''tercera proporcional''' de ellos a un segmento c que verifica: '''a/b=b/c'''.
 
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Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
 
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''b''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
 
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Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''b'''. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: '''a/b=b/c'''
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 8.gif]]
 
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====La proporción áurea====
 
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Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:
 
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math>
 
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<math>\Phi = 1,...........= \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math> es el número de oro.
 
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Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de '''rectángulo de oro'''. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de <math>\Phi</math> en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.
 
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También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:
 
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<math>\frac{d}{l} = \Phi</math>
 
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Vamos a comprobar que
 
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1+ \sqrt{5})}{2}</math>
 
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Operamos:
 
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<math>(a+b) \cdot b = a^2</math>
 
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<math>ab + b2 = a^2</math>
 
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<math>a^2 – ab – b^2 = 0</math>
 
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Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:
 
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<math>a = \frac{b + \sqrt{(b^2 + 4b^2)} }{2} = b \frac{ (1 + \sqrt{5})}{2}</math>
 
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<math> \frac{a}{b} = \Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}</math>
 
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Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:
 
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=====Cuando el dato es a=====
 
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Dibujamos un cuadrado de lado '''a''' y la mediatriz de dicho lado. Con centro en '''N''', punto medio de '''a''', y radio '''NM''', diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en '''P''' a la prolongación de '''a''', definiendo el segmento '''b'''. Se cumple que <math>\frac{a}{b} = \Phi</math>
 
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Vamos a comprobarlo:
 
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Como <math>MN = NP</math>, pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:
 
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Consideramos el triángulo '''MNQ''', por Pitágoras:
 
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<math>MN = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = {\frac{a\sqrt{5}}{2}</math>
 
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En nuestro dibujo:
 
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<math>NP = \frac{a}{2} +b</math>
 
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Lo aplicamos en la igualdad anterior:
 
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<math>\frac{a}{2} + b = \frac{a \sqrt {5}}{2}</math>
 
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<math>b = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt {5} -1}{2}</math>
 
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luego:
 
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<math>a = \frac{2b}{\sqrt {5} -1}</math>
 
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<math>\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt {5} -1} = \frac{2 (\sqrt {5} +1)}{(\sqrt {5} +1) (\sqrt {5} - 1)} = \frac{2 (1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} = \Phi</math>
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 9.gif]]
 
[[Categoría:Dibujo]]
[[Categoría:Dibujo]]

Revisión actual

Características generales

Consideramos que una variable x puede adquirir los valores a,b,c,d,... y otra variable los valores a' , b' , c' , d' , ... x e y son directamente proporcionales si

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}...

Teorema de Tales

Cuando un haz de rectas se interseca con un haz de rectas paralelas se definen segmentos directamente proporcionales sobre cada una de ellas:

\frac{VA}{VA'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =..........


\frac{VA'}{VA''} = \frac{A'B'}{A''B''} = \frac{B'C'}{B''C''} =.......

Imagen:21Proporcionalidaddirecta.gif

En Egipto, Tales de Mileto aplicó su teorema para medir la altura de una pirámide, considerando su sombra y situando un bastón BB'.

En nuestra figura vemos que la altura h = VV' es la incógnita de esta igualdad:

\frac{VV'}{BB'} = \frac{V'O}{B'O}, luego

h = VV' = V 'O \cdot \frac{BB'}{B'O}

Imagen:DibujoTecnico I-5 1.gif

El teorema de Tales nos ofrece distintas expresiones de segmentos directamente proporcionales. Si nos fijamos en la figura tenemos que:

\frac{BA}{MA} = \frac{BC}{MN} = \frac{CA}{NA}

\frac{MA}{NA} = \frac{BM}{CN} = \frac{BA}{CA}

De la primera igualdad deducimos la segunda ya que:

\frac{BA}{CA} = \frac{MA}{NA}

Imagen:DibujoTecnico I-5 2.gif

   
 
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