Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Propiedades de la integral definida

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: Propiedades de la integral definida La integral definida cumple las siguientes propiedades: • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. ...)
Revisión actual (03:19 16 ago 2012) (editar) (deshacer)
(Ejemplo 2)
 
(15 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
Propiedades de la integral definida
+
==Propiedades==
-
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
+
 
-
• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
+
<br/>
-
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
+
 
-
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
+
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:
-
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
+
 
-
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
+
<br/>
-
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
+
 
-
+
<center>
-
• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:
+
<math>
 +
\int_a^b
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \,
 +
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{d}x
 +
\, = \,
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \,
 +
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La integral del producto de un número real &nbsp; <math> k </math> &nbsp; por una función es igual al producto de &nbsp; <math> k </math> &nbsp; por la integral de dicha función:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
 +
k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor
 +
que el limite inferior de integración y
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
 +
- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Si hacemos &nbsp;
 +
<math>
 +
a = b
 +
</math>
 +
&nbsp; en la igualdad anterior se tiene que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
 +
- \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la
 +
conclusión de que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
para cualquier número real
 +
<math>
 +
a
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Dados tres números reales cualesquiera, &nbsp;
 +
<math>
 +
a, \, b, \, c
 +
</math>
 +
&nbsp; se tiene que:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x +
 +
\int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, a, \, b \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
es mayor o igual que la función&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{g}
 +
</math>
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge
 +
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En particular, si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Analogamente, si &nbsp;
 +
<math>
 +
0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, a, \, b \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
es mayor que la función&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{g}
 +
</math>
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x >
 +
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En particular, si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Analogamente, si &nbsp;
 +
<math>
 +
0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<center>
 +
<math>
 +
0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 1===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x +
 +
\int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 2===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 3===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 4===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
-\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 5===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Como &nbsp;
 +
<math>
 +
x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; se cumple que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 6===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Como &nbsp;
 +
<math>
 +
x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; se cumple que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Propiedades


La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:



\int_a^b 
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \,
 \mathrm{g} \left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{d}x
\, = \,
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \,
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


La integral del producto de un número real    k    por una función es igual al producto de    k    por la integral de dicha función:



\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
</p>
<pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>


En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y


\int_a^b  \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
</p>
<pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>

Si hacemos   
a = b
  en la igualdad anterior se tiene que


</p>
<pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
- \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que


\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0

para cualquier número real 
a
.


Dados tres números reales cualesquiera,   
a, \, b, \, c
  se tiene que:


\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x +
\int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right)
  la función 
\mathrm{f}
es mayor o igual que la función  
\mathrm{g}
  entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0


Analogamente, si   
0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   
\left( \, a, \, b \, \right)
  la función 
\mathrm{f}
es mayor que la función  
\mathrm{g}
  entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 
\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0


Analogamente, si   
0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
,   entonces


0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 1



\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
\int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + 
\int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 2



\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
15 \cdot \int_1^-  \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 3



\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0


Ejemplo 4



\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
-\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 5


Como   
x  > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
,   se cumple que


\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 6


Como   
x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)
,   se cumple que


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0

   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.