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Propiedades de la integral definida

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La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones:
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En una integral definida el limite superior de integraci\'on puede ser menor
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En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor
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que el limite inferior de integraci\'on y
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que el limite inferior de integración y
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\int_a^b \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
+
\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
-
- \cdot \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
+
- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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\int_a^a \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
+
\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
-
- \cdot \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
+
- \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge
\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge
\int_a^c \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
\int_a^c \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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En particular, si
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in
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\, a, \, b \,
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\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0
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Analogamente, si
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0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
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&nbsp; entonces
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En particular, si
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in
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\, a, \, b \,
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&nbsp; entonces
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Analogamente, si
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0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
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\, a, \, b \,
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\right)
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&nbsp; entonces
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0 > \int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 1===
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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\int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x +
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\int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 2===
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\int_1^2 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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5 \cdot \int_1^2 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 3===
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\int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0
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===Ejemplo 4===
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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-\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 5===
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Como &nbsp;
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x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)
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&nbsp; se cumple que
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0
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[[Category: Matemáticas]]
[[Category: Matemáticas]]

Revisión de 10:45 12 dic 2010

Tabla de contenidos

Propiedades


La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:


\int_a^b \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 


La integral del producto de un número real    k    por una función es igual al producto de    k    por la integral de dicha función:


\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>


En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

Si hacemos   a = b   en la igualdad anterior se tiene que

</p> <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

para cualquier número real a .


Dados tres números reales cualesquiera,   a, \, b, \, c   se tiene que:

\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   \left[ \, a, \, b \, \right]   la función \mathrm{f} es mayor o igual que la función  \mathrm{g}   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


En particular, si \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Analogamente, si 0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Si en el intervalo   \left[ \, a, \, b \, \right]   la función \mathrm{f} es mayor que la función  \mathrm{g}   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


En particular, si \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Analogamente, si 0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Ejemplo 1


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 2


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Ejemplo 3


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Ejemplo 4


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = -\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 5


Como   x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)   se cumple que

\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Propiedades_de_la_integral_definida.html"
   
 
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