Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Procedimiento para factorizar un polinomio

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 5: Línea 5:
<br/>
<br/>
-
1. Sacamos <math> x </math> factor com\'un, si ello es posible.
+
1. Sacamos <math> x </math> factor común, si ello es posible.
<br/>
<br/>
Línea 19: Línea 19:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
resolvemos la ecuaci\'on
+
resolvemos la ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 26: Línea 26:
</center>
</center>
-
Si esta ecuaci\'on no tiene solucion, el polinomio &nbsp;
+
Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es irreducible.
+
&nbsp; es irreducible,
-
 
+
pero si la ecuación anterior tiene soluciones &nbsp;
-
<br/>
+
-
 
+
-
Si las ecuaci\'on anterior tiene soluciones &nbsp;
+
<math>
<math>
r_1
r_1
Línea 54: Línea 51:
</center>
</center>
-
# Si el polinomio &nbsp;
+
Puede ocurrir que &nbsp;
 +
<math>
 +
r_1
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
r_2
 +
</math>
 +
&nbsp; coincidan ( sean iguales ).
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si el polinomio
 +
<center>
<math>
<math>
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} +
\ldots + a_1 \cdot x + a_0
\ldots + a_1 \cdot x + a_0
</math>
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
- es de grado mayor que dos
+
<span
-
- sus coeficientes son enteros, y
+
style = 'color:#00aa00'>
-
- <math> \frac{a_0}{a_n} </math> es un entero
+
&bull;
 +
</span> es de grado mayor que dos
<br/>
<br/>
-
utilizamos regla de la Ruffini con los divisores de &nbsp; <math>
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
&bull;
 +
</span> sus coeficientes son enteros, y
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
&bull;
 +
</span> <math> \frac{a_0}{a_n} </math> es un número entero
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
utilizamos [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]] con los divisores de &nbsp; <math>
\frac{a_0}{a_n} </math> y el polinomio &nbsp;
\frac{a_0}{a_n} </math> y el polinomio &nbsp;
<math>
<math>
Línea 76: Línea 102:
<br/>
<br/>
-
&nbsp;
+
<math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> &nbsp; si y solo si &nbsp; <math> x - a </math> &nbsp; es divisor de &nbsp; <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Factorizemos el polinomio:
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0
+
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x
</math>
</math>
-
&nbsp; si y solo si br
+
</center>
 +
Como se puede sacar un
<math>
<math>
-
x - a
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; es divisor de &nbsp;
+
factor común, eso es lo primero que hacemos:
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
 +
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
A continuación factorizamos
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x^3 - 12x^2 + 22x - 12
 +
</math>
 +
</center>
 +
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos Ruffini para ver
 +
si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que
 +
consideramos son los divisores de &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{-12}{2} = -6
 +
</math>,
 +
&nbsp; que son &nbsp;
 +
<math>
 +
-1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6
 +
</math>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
De este modo, se puede obtener que 3 es una raiz de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
-
</math>.
+
</math>,
 +
&nbsp; es decir,
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, 3 \, \right) = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
y que
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
 +
\left(
 +
\, 2x^2 - 6x + 4 \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
Finalmente, factorizamos el polinomio
 +
<center>
 +
<math>
 +
x^2 - 3x + 2
 +
</math>
 +
</center>
 +
resolviendo la ecuación
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x^2 - 6x + 4
 +
</math>
 +
</center>
 +
cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
y, por tanto
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
 +
x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 10:54 19 sep 2010


Procedimiento para factorizar un polinomio


1. Sacamos  x factor común, si ello es posible.


2. Si el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es de grado dos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   
r_1
  y   
r_2
,   entonces podemos factorizar   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de la siguiente manera:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   
r_1
  y   
r_2
  coincidan ( sean iguales ).


Si el polinomio


\mathrm{P} \left(  \, x \,  \right) =  a_n \cdot x^n  + a_{n-1} \cdot  x^{n-1} +
\ldots + a_1 \cdot x + a_0


es de grado mayor que dos


sus coeficientes son enteros, y


 \frac{a_0}{a_n} es un número entero


utilizamos regla de Ruffini con los divisores de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si    x - a    es  divisor de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un 
x
factor común, eso es lo primero que hacemos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos Ruffini para ver si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que consideramos son los divisores de   
\frac{-12}{2} = -6
,   que son   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


De este modo, se puede obtener que 3 es una raiz de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
,   es decir,

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

y que


2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \,
</pre>
<p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

resolviendo la ecuación


2x^2 - 6x + 4

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que


2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.