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Problemas de distancias

De Wikillerato

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)

  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto 
P
a una recta 
r
es la distancia entre 
P
y su proyeccion 
P^\prime 
en la recta 
r
.


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  a la recta 
r
de ecuaciones


r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Sea   
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  la proyección del punto 
P
en la recta 
r
. Queremos calcular la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y para ello necesitamos conocer 
P^\prime 
.


Para hallar 
P^\prime 
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta 
r
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector


\vec{PP^\prime} =
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
-
\left(
</p>
<pre> \, 2, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)

por un vector director de la recta 
r
. El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por 
P
y 
P^\prime
es perpendicular a la recta 
r
).




El producto escalar de


\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|

por   
\vec{PP^\prime }
  es


\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   x - 2 & y - 1 & z - 0
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|

donde la primera fila es el vector   
\vec{PP^\prime }
.

Podemos obtener un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es


\mathbf{u} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
</pre>
<p>\end{array}


   
 
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