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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Distancia entre un punto y una recta)
(Distancia entre dos puntos)
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==Distancia entre dos puntos==
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Now I feel stupid. That's claered it up for me
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La distancia entre dos puntos &nbsp;
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<math>
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P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
+
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</math>
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&nbsp; y &nbsp;
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<math>
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P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
+
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</math>
+
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&nbsp; es
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) =
+
-
\sqrt{
+
-
\left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
+
-
\left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
+
-
\left( \, z - z^\prime \, \right)^2
+
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}
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</math>
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</center>
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I thought finding this would be so arduous but it’s a beerze!
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==Distancia de un punto a un plano==
==Distancia de un punto a un plano==

Revisión de 18:36 29 jun 2011

Now I feel stupid. That's claered it up for me

Tabla de contenidos

Distancia de un punto a un plano


Sea 
\pi
un plano con vector normal 
\mathbf{n}
y al que pertenece el punto   
Q
.


La distancia de un punto 
P
al plano 
\pi 
es la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal al plano 
\pi
, que se puede calcular mediante la fórmula:


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ}  \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
</p>
<pre>     \, \mathbf{n} \, \right|}}
</pre>
<p>


Imagen:dcPnPlg.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  al plano 
\pi 
de ecuación:



x - y - z = 9


Un vector normal al plano 
\pi 
es el vector


\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)


Para encontrar un punto 
Q
del plano 
\pi 
damos valores a 
x
y a 
y
en la ecuación del plano 
\pi 
, por ejemplo,   
x = y = 1
,   y despejamos 
z
, lo que nos da una ecuación en 
z
:



1 - 1 - z = 9

cuya solución es:


z = -9


Por lo tanto   
Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)
  es un punto del plano 
\pi 
.


La distancia de 
P
a 
\pi 
es


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Distancia de una recta a un plano


Sea 
r
una recta paralela a un plano 
\pi
.


Para calcular la distancia de 
r
a 
\pi 
lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto 
P
en la recta 
r
y calcular la distancia de este punto al plano 
\pi 
.


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, 
r
y 
s
, que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   
\mathbf{u}_r
  y   
\mathbf{u}_s
, y un par de puntos,   
P
  y   
Q
,   en 
r
y en 
s
, respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal a un plano paralelo a 
r
y a 
s
. Esta dirección es la del vector



\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula



\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}
{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


Distancia entre dos planos


Para calcular la distancia entre dos planos paralelos,   
\pi_1 
  y 
\pi_2 
, se coge un punto de   
\pi_1
  y se calcula la distancia de este punto al plano   
\pi_2 
.


   
 
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