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Problemas de distancias

De Wikillerato

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Boy that ralely helps me the heck out.
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[[categoría: matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto 
P
a una recta 
r
es la distancia entre 
P
y su proyeccion 
P^\prime 
en la recta 
r
.


Imagen:dcPnLi.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  a la recta 
r
de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Sea   
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  la proyección del punto 
P
en la recta 
r
. Queremos calcular la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y para ello necesitamos conocer 
P^\prime 
.


Para hallar 
P^\prime 
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta 
r
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector


\vec{PP^\prime} =
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
-
\left(
</p>
<pre> \, 2, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)

por un vector director de la recta 
r
. El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por 
P
y 
P^\prime
es perpendicular a la recta 
r
).


Podemos obtener un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es



\mathbf{u} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
</pre>
<p>\end{array}


El producto escalar de 
\mathbf{u}
por   
\vec{PP^\prime }
  es



\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   x - 2 & y - 1 & z - 0
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
= \left( \, x - 2,  \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot  \left( \, 3, \, 6, \, 3
</p>
<pre> \, \right) = 
</pre>
<p>


= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
\right|


donde la primera fila del determinante es el vector   
\vec{PP^\prime }
.


El punto 
P^\prime
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones



\left\{ 
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = 3x + 6y + 3z -12 
   \\
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que



0 = 9y - 16


con lo cual   
y = \frac{16}{9}
.   Sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
en la tercera ecuación del sistema y despejando 
x
se llega a que


x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}


Finalmente, sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
y 
x
por   
\frac{-10}{9}
  en la segunda ecuación del sistema y despejando 
z
se llega a que


z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y  - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
</p>
<pre> 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
</pre>
<p>

La distancia de 
P
a 
r
coincide con la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y esta es:



\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
</p>
<pre>   \frac{14}{9} \, \right)^2}
</pre>
<p>


Distancia de un punto a un plano


Sea 
\pi
un plano con vector normal 
\mathbf{n}
y al que pertenece el punto   
Q
.


La distancia de un punto 
P
al plano 
\pi 
es la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal al plano 
\pi
, que se puede calcular mediante la fórmula:


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ}  \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
</p>
<pre>     \, \mathbf{n} \, \right|}}
</pre>
<p>


Imagen:dcPnPlg.png


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Distancia de una recta a un plano


Sea 
r
una recta paralela a un plano 
\pi
.


Para calcular la distancia de 
r
a 
\pi 
lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto 
P
en la recta 
r
y calcular la distancia de este punto al plano 
\pi 
.


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, 
r
y 
s
, que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   
\mathbf{u}_r
  y   
\mathbf{u}_s
, y un par de puntos,   
P
  y   
Q
,   en 
r
y en 
s
, respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal a un plano paralelo a 
r
y a 
s
. Esta dirección es la del vector



\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula



\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}
{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


   
 
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