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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 253: Línea 253:
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&nbsp; es
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Línea 265: Línea 268:
\right|
\right|
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
-
\, \right) = 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
+
\, \right) =
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= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
\right|
\right|
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donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
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Línea 282: Línea 293:
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es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
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\left\{
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
0 = 3x + 6y + 3z -12
0 = 3x + 6y + 3z -12
Línea 291: Línea 306:
0 = 2x - y + 4
0 = 2x - y + 4
\end{array}
\end{array}
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\right.
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Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
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Línea 299: Línea 321:
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con lo cual &nbsp;
con lo cual &nbsp;
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Línea 318: Línea 343:
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-
x = 2 - \frac{y}{2} = 2 - \frac{8}{9} = \frac{10}{9}
+
x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}
</math>
</math>
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</center>
Línea 349: Línea 374:
<math>
<math>
z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
-
2 \cdot \frac{16}{9} - \frac{10}{9} \, \right) = \frac{4}{3}
+
2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
</math>
</math>
</center>
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Línea 372: Línea 397:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\sqrt{\left( \, 2 - \frac{10}{9} \, \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
+
\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
-
\frac{4}{3} \, \right)^2}
+
\frac{14}{9} \, \right)^2}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 12:43 30 oct 2010

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto 
P
a una recta 
r
es la distancia entre 
P
y su proyeccion 
P^\prime 
en la recta 
r
.


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  a la recta 
r
de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Sea   
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  la proyección del punto 
P
en la recta 
r
. Queremos calcular la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y para ello necesitamos conocer 
P^\prime 
.


Para hallar 
P^\prime 
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta 
r
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector


\vec{PP^\prime} =
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
-
\left(
</p>
<pre> \, 2, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)

por un vector director de la recta 
r
. El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por 
P
y 
P^\prime
es perpendicular a la recta 
r
).


Podemos obtener un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es


\mathbf{u} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
</pre>
<p>\end{array}


El producto escalar de 
\mathbf{u}
por   
\vec{PP^\prime }
  es



\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   x - 2 & y - 1 & z - 0
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
= \left( \, x - 2,  \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot  \left( \, 3, \, 6, \, 3
</p>
<pre> \, \right) = 
</pre>
<p>


= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
\right|


donde la primera fila del determinante es el vector   
\vec{PP^\prime }
.


El punto 
P^\prime
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones



\left\{ 
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = 3x + 6y + 3z -12 
   \\
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que



0 = 9y - 16


con lo cual   
y = \frac{16}{9}
.   Sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
en la tercera ecuación del sistema y despejando 
x
se llega a que


x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}


Finalmente, sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
y 
x
por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   en la segunda ecuación del sistema y despejando 
z
se llega a que


z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y  - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
</p>
<pre> 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
</pre>
<p>

La distancia de 
P
a 
r
coincide con la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y esta es:


\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
</p>
<pre>   \frac{14}{9} \, \right)^2}
</pre>
<p>

   
 
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