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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 66: Línea 66:
</math>
</math>
de ecuaciones
de ecuaciones
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Línea 78: Línea 81:
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Sea &nbsp;
Sea &nbsp;
Línea 242: Línea 247:
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\mathbf{u}
\mathbf{u}
-
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+
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por &nbsp;
por &nbsp;
<math>
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Línea 258: Línea 263:
2 & -1 & 0
2 & -1 & 0
\end{array}
\end{array}
 +
\right|
 +
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
 +
\, \right) = 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
 +
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
\right|
\right|
</math>
</math>
</center>
</center>
-
donde la primera fila es el vector &nbsp;
+
donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
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\vec{PP^\prime }
\vec{PP^\prime }
</math>.
</math>.
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El punto
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P^\prime
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es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
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\begin{array}{l}
 +
0 = 3x + 6y + 3z -12
 +
\\
 +
0 = x - 2y + 3z
 +
\\
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0 = 2x - y + 4
 +
\end{array}
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</math>
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</center>
 +
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
 +
<center>
 +
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 +
0 = 9y - 16
 +
</math>
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con lo cual &nbsp;
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 +
y = \frac{16}{9}
 +
</math>.
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&nbsp; Sustituyendo
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por
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en la tercera ecuación del sistema y despejando
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 +
x
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 +
se llega a que
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x = 2 - \frac{y}{2} = 2 - \frac{8}{9} = \frac{10}{9}
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Finalmente, sustituyendo
 +
<math>
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y
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\frac{16}{9}
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y
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por &nbsp;
 +
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\frac{10}{9}
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</math>
 +
&nbsp;
 +
en la segunda ecuación del sistema y despejando
 +
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 +
z
 +
</math>
 +
se llega a que
 +
<center>
 +
<math>
 +
z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
 +
2 \cdot \frac{16}{9} - \frac{10}{9} \, \right) = \frac{4}{3}
 +
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La distancia de
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P
 +
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 +
a
 +
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 +
r
 +
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 +
coincide con la distancia de
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 +
P
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a
 +
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 +
P^\prime
 +
</math>
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y esta es:
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<center>
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 +
\sqrt{\left( \, 2 - \frac{10}{9} \, \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
 +
\frac{4}{3} \, \right)^2}
 +
</math>
 +
</center>
 +
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 12:29 30 oct 2010

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto 
P
a una recta 
r
es la distancia entre 
P
y su proyeccion 
P^\prime 
en la recta 
r
.


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  a la recta 
r
de ecuaciones



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 = x - 2y + 3z
   \\
   0 = 2x - y + 4
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Sea   
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  la proyección del punto 
P
en la recta 
r
. Queremos calcular la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y para ello necesitamos conocer 
P^\prime 
.


Para hallar 
P^\prime 
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta 
r
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector


\vec{PP^\prime} =
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
-
\left(
</p>
<pre> \, 2, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)

por un vector director de la recta 
r
. El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por 
P
y 
P^\prime
es perpendicular a la recta 
r
).


Podemos obtener un vector director 
\mathbf{u}
de la recta 
r
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano 
\pi_1 
por un vector perpendicular al plano 
\pi_2
.

Un vector 
\mathbf{n}_1
perpendicular al plano 
\pi_1
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de 
\pi_1
:


\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector 
\mathbf{n}_2
perpendicular al plano 
\pi_2
:


\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, 
\mathbf{n}_1
y 
\mathbf{n}_2
es


\mathbf{u} = 
\left|
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
   \\
   1 & -2 & 3
   \\
   2 & -1 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
 \\
 \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
</pre>
<p>\end{array}


El producto escalar de 
\mathbf{u}
por   
\vec{PP^\prime }
  es

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

donde la primera fila del determinante es el vector   
\vec{PP^\prime }
.


El punto 
P^\prime
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que


0 = 9y - 16

con lo cual   
y = \frac{16}{9}
.   Sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
en la tercera ecuación del sistema y despejando 
x
se llega a que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Finalmente, sustituyendo 
y
por 
\frac{16}{9}
y 
x
por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   en la segunda ecuación del sistema y despejando 
z
se llega a que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

La distancia de 
P
a 
r
coincide con la distancia de 
P
a 
P^\prime 
y esta es:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

   
 
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