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Posiciones relativas de dos rectas

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Introducción


Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:


1. Coincidentes.


2. Paralelas.


3. Secantes.


4. Rectas que se cruzan.


Supongamos que tenemos dos rectas   
r
  y   
s
  cada una de las cuales vienen dada como la interseccion de dos planos:



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0
   \\
   a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.
\qquad s:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0
   \\
   a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:



A \, = \, 
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_1 & b_1 $ c_1
   \\
   a_2 & b_2 $ c_2
   \\
   a_3 & b_3 $ c_3
   \\
   a_4 & b_4 $ c_4
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, 
\left(
</p>
<pre> \left.
     \begin{array}[c]{ccc}
     a_1 & b_1 $ c_1
     \\
     a_2 & b_2 $ c_2
     \\
     a_3 & b_3 $ c_3
     \\
     a_4 & b_4 $ c_4
     \\
   \end{array}
 \right|
 \begin{array}[c]{ccc}
   -d_1 
   \\
   -d_2 
   \\
   -d_3
   \\
   -d_4
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Las dos primeras filas de   
A
  son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por tanto, Rango ( A )   
\ge 2
  y Rango ( A | B )   
\ge 2
. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.


Casos que se pueden dar:


Coincidentes:     Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2


El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado ( tiene infinitas soluciones ). Las rectas tienen todos sus puntos comunes. Son rectas coincidentes.


Paralelas:     Rango ( A ) = 2,     Rango ( A | B ) = 3


El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias ( estan en el mismo plano ). Son rectas paralelas.


Secantes:     Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3


El sistema de ecuaciones es compatible determinado ( tiene una solución única ). Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte de ambas rectas. Son rectas secantes.


Rectas que se cruzan:     Rango ( A ) = 3,     Rango ( A | B ) =4


El sistema es incompatible, no tiene solucion. No tienen ningún punto en común, y como Rango ( A ) = 3, las rectas no son coplanarias ( no estan contenidas en un mismo plano ). Son rectas que se cruzan.




Otro procedimiento para determinar la posicion relativa de dos rectas es el siguiente:


1. Obtenemos dos vectores directores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  de ambas rectas ( uno de cada recta ).


2. Si estos son paralelos entonces las rectas son coincidentes o paralelas. Para saber si son coincidentes o paralelas, hallamos un punto en una de las rectas y comprobamos si esta en la otra: si esta, entonces las rectas son coincidentes, si no esta, las rectas son paralelas.


3. Si   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  no son paralelos, entonces las rectas son secantes o se cruzan. En este caso, juntariamos las ecuaciones de las dos rectas y resolveriamos el sistema resultante: si no tiene solucion, las rectas se cruzan, si tiene solucion, las rectas son secantes.


Este procedimiento no requiere que las rectas esten dadas como interseccion de dos planos paralelos.


   
 
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