Periodicidad
De Wikillerato
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Definición
Se dice que una función
es periódica, de periodo
, con
, si y solo si verifica las siguientes dos condiciones:
1.
para todo número real
, y
2.
es el menor número positivo que cumple la anterior condición.
Propiedades
Propiedad 1
Para determinar completamente una función periódica de periodo
es suficiente con especificar
y para cualquier
.
El simbolo
significa ``para todo`` y
representa el conjunto de números reales que son mayores o iguales que
y menores que
.
Propiedad 2
Si
es una función periódica de periodo
, entonces
para todo número real
y cualquier número entero
.
Si definimos una función
,
a partir de otra función
,
mediante la igualdad
,
donde
es un número real cualquiera,
entonces decimos que se ha obtenido
trasladando
horizontalmente.
Si
es positiva, la grafica de
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de
unidades a la derecha.
Si
es negativa, la grafica de
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de
una distancia
a la izquierda.
Un función periódica de periodo
es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento,
,
es un número entero por el periodo (
con
).
Ejemplo
Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el seno y la tangente.
Son funciones periódicas
donde
,
y
son números reales cualesquiera y
.
El periodo de todas estas funciones es
.
Ejemplo
En este ejemplo, el periodo es
Ejercicio
Sea
una función
periódica de periodo 5, tal que
Calculese
Solución
El ejercicio se resuelve buscando un número entero
tal que
se encuentre en el intervalo
.
Para encontrar
dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto.
Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que
y por lo tanto
que se encuentra en el intervalo .
Por la propiedad 2,
. Como, por otra parte,
, se tiene que