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Operaciones elementales con matrices

De Wikillerato


Tabla de contenidos

Suma de matrices


Para dos matrices   
A = \left( a_{ij} \right)
  y   
B = \left( b_{ij} \right)
  de la misma dimension   
m \times n
,   la suma de   
A
  y   
B
  es la matriz de la misma dimension   
m \times n
,   dada por



A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)


Ejemplo



A + B = 
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_{11 }& a_{12} & a_{13}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & a_{23}
   \\
   a_{31 }& a_{32} & a_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
+
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   b_{11 }& b_{12} & b_{13}
   \\
   b_{21 }& b_{22} & b_{23}
   \\
   b_{31 }& b_{32} & b_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
   \\
   a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
   \\
   a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Propiedades de la suma de matrices


1. Asociativa



A + 
\left(
</p>
<pre> B + C
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> A + B
</pre>
<p>\right)
+ C


2. Elemento neutro. La matriz nula,   
0,
  de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:



A + 0 = 0 + A = A


3. Elemento opuesto. Para la matriz   
A
  existe otra matriz que denotamos por   
-A
  y que llamamos matriz opuesta de   
A,
  que cumple:



A +
\left(
</p>
<pre> -A
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= 0
</pre>
<p>


4. Comutativa



A + B = B + A


Producto de un numero por una matriz


Para un número real   
k
  y una matriz   
A = \left( a_{ij} \right)}
  de dimension   
m \times n
,   el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension   
m \times n
  dada por



k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)


Es decir, el producto   
k \cdot A 
  se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.


Ejemplo



k \cdot A  = k \cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a_{11 }& a_{12} 
   \\
   a_{21 }& a_{22} 
   \\
   a_{31 }& a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} 
   \\
   k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} 
   \\
   k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Producto de matrices


El producto de dos matrices   
A = \left( a_{ij} \right)
  de dimension   
m \times n
  y   
B = \left( b_{ij} \right)
  de dimension   
n \times p
,   es la matriz   
A \cdot B
  dada por:



A \cdot B = \left( c_{ij} \right)


con



</p>
<pre>c_{ik} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
</pre>
<p>


Es decir, cada elemento   
c_{ik}
  se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.


Ejemplo



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   4 & 5 & 6 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   ~~7 & ~~8
   \\
   ~~9 & ~~0
   \\
   -1 & -2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
   \\
   4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Propiedades del producto de matrices


1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B \cdot C
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
\cdot C


2. El producto de matrices cuadradas de orden   
n
  posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   
I
  de orden   
n
  ya que:



A \cdot I = I \cdot A = A


3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B + C
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= A \cdot B + A \cdot C
</pre>
<p>


   
 
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