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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
 +
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
 +
 
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
 +
<math>
 +
m
 +
</math>
 +
&nbsp; filas y &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
La matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
 +
<math>
 +
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
 +
</math>
 +
&nbsp; donde
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{l}
 +
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
 +
\\
 +
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
 +
<math>
 +
j
 +
</math>
 +
&nbsp; el numero de columna.
 +
 +
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; se denota por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
M_{m \times n}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
, &nbsp; se denota por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
M_n
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 +
 +
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ii}
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>
 +
&nbsp; tales que &nbsp;
 +
<math>
 +
i + j = n + 1
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}
 +
\\
 +
a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}
 +
\\
 +
a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}
 +
\\
 +
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
&
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}
 +
\\
 +
a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}
 +
\\
 +
a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}
 +
\\
 +
\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\\
 +
&
 +
\\
 +
\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
m \neq n
 +
\right)
 +
</math>
 +
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
2 & ~~3 & -1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
1 \times n
 +
</math>
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
-1 & 3 & 5
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times 1
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
-1
 +
\\
 +
~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
0
 +
</math>
 +
.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
0 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
0 & ~~3 & -1
 +
\\
 +
0 & ~~0 & ~~2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por encima de la diagonal principal son ceros
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & ~~0 & 0
 +
\\
 +
3 & -1 & 0
 +
\\
 +
1 & -1 & 3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
no situados en la diagonal principal son ceros.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~2 & ~~0 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & ~~0 & ~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
 +
de la diagonal principal son iguales.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
1
 +
</math>
 +
&nbsp; .
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Operaciones elementales con matrices
 +
 +
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el
 +
mismo lugar en ambas, son iguales.
 +
 +
Para dos matrices &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B = \left( b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; la suma de &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B
 +
</math>
 +
&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; dada por
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A + B =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & a_{13}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & a_{23}
 +
\\
 +
a_{31 }& a_{32} & a_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
+
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
b_{11 }& b_{12} & b_{13}
 +
\\
 +
b_{21 }& b_{22} & b_{23}
 +
\\
 +
b_{31 }& b_{32} & b_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
 +
\\
 +
a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
 +
\\
 +
a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para un número real &nbsp;
 +
<math>
 +
k
 +
</math>
 +
&nbsp; y una matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; dada por
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir, el producto &nbsp;
 +
<math>
 +
k \cdot A
 +
</math>
 +
&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la
 +
matriz.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
k \cdot A = k \cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a_{11 }& a_{12}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22}
 +
\\
 +
a_{31 }& a_{32}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}
 +
\\
 +
k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}
 +
\\
 +
k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El producto de dos matrices &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B = \left( b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times p
 +
</math>
 +
, &nbsp; es la matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A \cdot B
 +
</math>
 +
&nbsp; dada por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot B = \left( c_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
con
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir, cada elemento &nbsp;
 +
<math>
 +
c_{ik}
 +
</math>
 +
&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna
 +
k-ésima de la segunda matriz.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
4 & 5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
~~7 & ~~8
 +
\\
 +
~~9 & ~~0
 +
\\
 +
-1 & -2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
 +
\\
 +
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
*El producto de matrices cuadradas es asociativo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot
 +
\left(
 +
B \cdot C
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
A \cdot B
 +
\right)
 +
\cdot C
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
*El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;
 +
<math>
 +
I
 +
</math>
 +
&nbsp; de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; ya que:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot I = I \cdot A = A
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
* El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot
 +
\left(
 +
B + C
 +
\right)
 +
= A \cdot B + A \cdot C
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Matriz transpuesta
 +
Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; a la matriz que se obtiene al cambiar en &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por &nbsp;
 +
<math>
 +
A^t
 +
</math>
 +
&nbsp; y su dimension es &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times m
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Propiedades:==
 +
 +
<br/>
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A^t \, \right)^t = A
 +
</math>
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
<br/>
 +
 +
----
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; que coincide con su transpuesta: &nbsp;
 +
<math>
 +
A = A^t
 +
</math>.
 +
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
 +
diagonal principal son iguales.
 +
 +
====Ejemplo:====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
2 & 4 & 5
 +
\\
 +
3 & 5 & 7
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; que coincide con la opuesta de su transpuesta: &nbsp;
 +
<math>
 +
A = -A^t
 +
</math>.
 +
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
 +
diagonal principal son opuestos.
 +
 +
====Ejemplo:====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~ 0 & ~~2 & -3
 +
\\
 +
-2 & ~~0 & ~~5
 +
\\
 +
~~ 3 & -5 & ~~0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Matriz inversa
 +
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
Línea 71: Línea 851:
<br/>
<br/>
-
Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz
+
====Ejemplo:====
<br/>
<br/>
Línea 289: Línea 1.069:
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
</math>
</math>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Rango de una matriz
 +
 +
En la matriz
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se dice que las filas &nbsp;
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, F_i =
 +
\left(
 +
\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,
 +
\right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
son dependientes si existen números &nbsp;
 +
<math>
 +
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
 +
</math>
 +
&nbsp; tales que
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
 +
</math>
 +
&nbsp; son linealmente independientes.
 +
 +
El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes
 +
que tiene esa matriz.

Revisión de 12:23 29 nov 2006

Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
A 
  se puede designar tambien como   
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Un elemento generico de la matriz se designa por   
a_{ij}
  en el cual el subindice   
i
  representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice   
j
  el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension   
m \times n
  se denota por:



M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   
n \times n
,   tambien llamadas de orden   
n
,   se denota por:



M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  


a_{ii}
 

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  


a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1



\begin{array}[c]{cc}
</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{cccc}
     \mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} &  a_{14}
     \\
     a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} &  a_{24}
     \\
     a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} &  a_{34}
     \\
     a_{41} & a_{42} & a_{43} &  \mathbf{a_{44}}
   \end{array}
 \right)
 &
 \left(
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & a_{12} & a_{13} &  \mathbf{a_{14}}
     \\
     a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} &  a_{24}
     \\
     a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} &  a_{34}
     \\
     \mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} &  a_{44}
   \end{array}
 \right)
   \\
   & 
   \\
   \makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
</pre>
<p>\end{array}


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   
\left(
</p>
<pre> m \neq n
</pre>
<p>\right)

Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   
1 \times n
Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   
m \times 1
  Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   
0
. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos   
1
  . Ejemplo:



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>

%% }}} %% {{{ =Operaciones elementales con matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Para dos matrices   
A = \left( a_{ij} \right)
  y   
B = \left( b_{ij} \right)
  de la misma dimension   
m \times n
,   la suma de   
A
  y   
B
  es la matriz de la misma dimension   
m \times n
,   dada por



A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)


Ejemplo:



A + B = 
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_{11 }& a_{12} & a_{13}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & a_{23}
   \\
   a_{31 }& a_{32} & a_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
+
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   b_{11 }& b_{12} & b_{13}
   \\
   b_{21 }& b_{22} & b_{23}
   \\
   b_{31 }& b_{32} & b_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
   \\
   a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
   \\
   a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Para un número real   
k
  y una matriz   
A = \left( a_{ij} \right)}
  de dimension   
m \times n
,   el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension   
m \times n
  dada por



k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)


Es decir, el producto   
k \cdot A 
  se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo:



k \cdot A  = k \cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a_{11 }& a_{12} 
   \\
   a_{21 }& a_{22} 
   \\
   a_{31 }& a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} 
   \\
   k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} 
   \\
   k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


El producto de dos matrices   
A = \left( a_{ij} \right)
  de dimension   
m \times n
  y   
B = \left( b_{ij} \right)
  de dimension   
n \times p
,   es la matriz   
A \cdot B
  dada por:



A \cdot B = \left( c_{ij} \right)


con



</p>
<pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
</pre>
<p>


Es decir, cada elemento   
c_{ik}
  se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz. Ejemplo:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   4 & 5 & 6 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   ~~7 & ~~8
   \\
   ~~9 & ~~0
   \\
   -1 & -2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
   \\
   4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


  • El producto de matrices cuadradas es asociativo:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B \cdot C
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
\cdot C


  • El producto de matrices cuadradas de orden  


n
  posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   
I
  de orden   
n
  ya que:



A \cdot I = I \cdot A = A


  • El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B + C
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= A \cdot B + A \cdot C
</pre>
<p>

%% }}} %% {{{ =Matriz transpuesta Se llama matriz traspuesta de una matriz   
A
  de dimension   
m \times n
,   a la matriz que se obtiene al cambiar en   
A
  las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por   
A^t
  y su dimension es   
n \times m


Tabla de contenidos

Propiedades:


  • 
\left( \, A^t \, \right)^t = A

    • 
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
 

      • 
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t 
 

        • 
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot  A^t 
 




          Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada   
A
  que coincide con su transpuesta:   
A = A^t
.   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son iguales.

          Ejemplo:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   2 & 4 & 5
   \\
   3 & 5 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada   
A
  que coincide con la opuesta de su transpuesta:   
A = -A^t
.   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos.

          Ejemplo:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   ~~ 0 & ~~2 & -3 
   \\
   -2 & ~~0 & ~~5
   \\
   ~~ 3 & -5 & ~~0
 \end{array}
</pre>
<p>\right)

          %% }}} %% {{{ =Matriz inversa

          La matriz inversa de una matriz cuadrada   
A
  de orden   
n,
  es la matriz   
, A^{-1},
  de orden   
n
  que verifica:


          
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


          Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


          Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

          1.   Si existe,   
A^{-1} 
  es única.

          2.   
\left(
</p>
<pre> A^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = A

          3.   
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


          Calculo de la matriz inversa


          Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


          Mediante la definicion


          Ejemplo:


          
A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          hacemos


          
A^{-1} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          como


          
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Operando:


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a + 2c & b + 2d
   \\
   3a + 7c & 3b + 7d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a + 2c & = & 1
   \\
   3a + 7c & = & 0
   \\
   b + 2d & = & 0
   \\
   3b + 7d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


          
\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a & = & 7
   \\
   b & = & -2
   \\
   c & = & -3
   \\
   d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


          Método de Gauss-Jordan


          La inversa de una matriz regular   
A
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, A \, \left| \, I \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)

          Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

          1. Intercambiar las filas   
i
  y   
j,
  que designaremos por   
F_i \longrightarrow F_j
 

          2. Multiplicar la fila   
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

          3. Multiplicar la fila   
i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

          4. Sumar las filas   
i
  y   
j,
 , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   
i
  o   
j
 . Lo designamos por   
F_i
  o   
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

          %% }}} %% {{{ =Rango de una matriz

          En la matriz


          
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


          Se dice que las filas  


          
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t


          
\left(
</p>
<pre> \, F_i =
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \, 
</pre>
<p>\right)
\right)


          son dependientes si existen números   
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
  tales que


          
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t


          En caso contrario, se dice que las filas   
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t 
  son linealmente independientes.

          El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene esa matriz.

             
 
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