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Matriz inversa

De Wikillerato

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(Calculo de la matriz inversa)
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Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
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b + 2d & = & 0
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b & = & -2
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\\
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c & = & -3
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\\
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d & = & 1
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La inversa de una matriz regular &nbsp;
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A
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&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
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\left(
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\, A \, \left| \, I \, \right.
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&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
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\left(
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\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
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Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
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# Intercambiar las filas &nbsp;
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&nbsp; que designaremos por &nbsp;
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F_i \longrightarrow F_j
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# Multiplicar la fila &nbsp;
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&nbsp; por el numero &nbsp;
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k \neq 0
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \tau k \cdot F_i
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# Multiplicar la fila &nbsp;
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&nbsp; por el numero &nbsp;
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k \neq 0
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&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
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F_i \tau k \cdot F_i
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</math>
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# Sumar las filas &nbsp;
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i
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&nbsp; y &nbsp;
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j,
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</math>
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&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
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i
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&nbsp; o &nbsp;
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j
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&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
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F_i
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&nbsp; o &nbsp;
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<math>
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F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

Revisión de 12:09 29 nov 2006

La matriz inversa de una matriz cuadrada   
A
  de orden   
n,
  es la matriz   
, A^{-1},
  de orden   
n
  que verifica:



A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

1.   Si existe,   
A^{-1} 
  es única.

2.   
\left(
</p>
<pre> A^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = A

3.   
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


Calculo de la matriz inversa


Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


Mediante la definicion


Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz



A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos



A^{-1} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


como



I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   3 & 7
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a & b
   \\
   c & d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a + 2c & b + 2d
   \\
   3a + 7c & 3b + 7d
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 0
   \\
   0 & 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a + 2c & = & 1
   \\
   3a + 7c & = & 0
   \\
   b + 2d & = & 0
   \\
   3b + 7d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   a & = & 7
   \\
   b & = & -2
   \\
   c & = & -3
   \\
   d & = & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Método de Gauss-Jordan


La inversa de una matriz regular   
A
  se calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, A \, \left| \, I \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales por filas en la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

  1. Intercambiar las filas  


i
  y   
j,
  que designaremos por   
F_i \longrightarrow F_j
 

  1. Multiplicar la fila  


i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   
F_i \tau k \cdot F_i

  1. Multiplicar la fila  


i
  por el numero   
k \neq 0
  y sustituirla por el resultado; lo designamos por   
F_i \tau k \cdot F_i

  1. Sumar las filas  


i
  y   
j,
 , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   
i
  o   
j
 . Lo designamos por   
F_i
  o   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

   
 
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