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Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
__TOC__
 
-
==Definición==
+
==Introducción==
<br/>
<br/>
-
La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
+
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Los métodos de [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de igualación|igualación]], [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de sustitución|sustitución]] y [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de reducción|reducción]] consisten en
 +
encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa
 +
incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas
 +
facil, ¿no?).
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de
 +
pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos
 +
incognitas que las ecuaciones previas.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize
 +
un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se
 +
utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta
 +
incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar
 +
para resolver [[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados|sistemas de ecuaciones compatibles determinados]] e
 +
[[Definición y tipos#Sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados|indeterminados]].
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de
 +
ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos
 +
conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que
 +
es falsa, por ejemplo:
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}
+
2 = 3
</math>
</math>
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Método de la matriz inversa|método de la matriz inversa]] y la [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#Regla de Cramer|regla de Cramer]] solo se pueden utilizar en
 +
el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Método de reducción==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número
 +
de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de
 +
la ecuación por dicho número.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho
 +
( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las
 +
ecuaciones que se suman.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
n,
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
5x - 3y = 2
 +
\\
 +
3x - 4y = -1
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}^{-1}
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
15x - 9y = 6
 +
\\
 +
-15x + 20y = 5
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
-
&nbsp; tambien de orden &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
 +
<center>
 +
<math>
 +
11y = 11
 +
</math>
 +
</center>
 +
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es
 +
<center>
 +
<math>
 +
y = 1
 +
</math>
 +
</center>
 +
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la
<math>
<math>
-
n
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; que verifica:
+
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
<br/>
<br/>
 +
Sutituyendo <math> y </math> por uno en la primera ecuación del sistema de
 +
ecuaciones de partida, se obtiene
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
+
5x - 3 = 2
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 1
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
donde &nbsp;
+
==Método de igualación==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El método de igualación consiste en lo siguiente:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{I}
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
a = b
 +
\\
 +
a = c
 +
\item \end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
-
&nbsp; es la
+
</center>
-
[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
+
donde
<math>
<math>
-
n
+
a
 +
</math>,
 +
<math>
 +
b
 +
</math>,
 +
y
 +
<math>
 +
c
</math>
</math>
-
.
+
representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones
 +
algebraicas ).
<br/>
<br/>
-
==Exitencia de la matriz inversa==
+
De las dos igualdades anteriores se deduce que
 +
<center>
 +
<math>
 +
b = c
 +
</math>
 +
</center>
 +
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
ni en
 +
<math>
 +
b
 +
</math>,
 +
entonces la ecuación
 +
<center>
 +
<math>
 +
b = c
 +
</math>
 +
</center>
 +
no contendría dicha incognita.
<br/>
<br/>
-
Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
+
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta
-
tienen inversa, '''''singulares'''''.
+
llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
-
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
+
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
por su solución en otras ecuaciones dode aparezca
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
<br/>
<br/>
-
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
+
===Ejemplo===
<br/>
<br/>
-
==Propiedades==
+
El sistema de ecuaciones
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
2x - 3y = -1
 +
\\
 +
2x + 4y = 6
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
es equivalente a este otro
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
2x = -1 + 3y
 +
\\
 +
2x = 6 -4y
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en
 +
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las
 +
ecuaciones del primer sistema.
<br/>
<br/>
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
+
Del segundo sistema se deduce que
 +
<center>
 +
<math>
 +
-1 + 3y = 6 - 4y
 +
</math>
 +
</center>
 +
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es &nbsp;
 +
<math>
 +
y = 1
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
1. &nbsp; Si existe,
+
Sustituyendo
-
&nbsp; <math>
+
<math>
-
\mathbf{A}^{-1}
+
y
</math>
</math>
-
&nbsp; es única.
+
por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x - 3 = -1
 +
</math>
 +
</center>
 +
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 1
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
2. &nbsp;
+
==Método de sustitución==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
 +
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\left\{
-
\mathbf{A}^{-1}
+
\begin{array}{l}
-
\right)
+
a \cdot b + c = d
-
^{-1} = \mathbf{A}
+
\\
 +
a + e = f
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
 +
</center>
 +
Entonces podemos despejar
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d
 +
</math>
 +
</center>
 +
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de
 +
partida.
<br/>
<br/>
-
3. &nbsp;
+
Aqui &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
a, \, b, \, c, \, d, \, e
-
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
+
-
\right)
+
-
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
+
</math>
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
<br/>
<br/>
-
4. El determinante de una matriz regular
+
===Ejemplo===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Intentemos resolver
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
4x + 3y = 7
 +
\\
 +
2x - y = 1
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
-
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
+
</center>
 +
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
 +
<center>
 +
<math>
 +
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
 +
</math>
 +
</center>
 +
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
 +
<center>
 +
<math>
 +
2x = 1 + y
 +
</math>
 +
</center>
 +
Sustituyendo &nbsp;
 +
<math>
 +
2x
 +
</math>
 +
&nbsp; por
 +
<math>
 +
1 + y
 +
</math>
 +
en
 +
<center>
 +
<math>
 +
2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7
 +
</math>
 +
</center>
 +
se tiene que
 +
<center>
 +
<math>
 +
2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7
 +
</math>
 +
</center>
 +
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es
 +
<math>
 +
y = 1
 +
</math>.
<br/>
<br/>
 +
Sustituyendo
 +
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos
 +
una ecuación de una sola incognita
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
+
4 + 3y = 7
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
cuya solución es &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 1
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Cálculo de la matriz inversa==
+
==Método de Gauss==
<br/>
<br/>
-
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
+
[[Imagen:gauss.jpg|frame|Gauss es uno de los matematicos mas
 +
importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!]]
<br/>
<br/>
-
===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
+
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
 +
Para ello tomamos la [[Definición y tipos#Definición|matriz ampliada]] del
 +
sistema y mediante las [[Matriz inversa#Operaciones elementales con las filas de una matriz|operaciones elementales]]
 +
con sus filas la transformamos en una [[¿Qué es una matriz?#Matrices triangulares superiores|matriz triangular superior]] ( o
 +
[[¿Qué es una matriz?#Matrices triangulares inferiores|inferior]] ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil
 +
de resolver.
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo====
+
Es esencialmente el [[Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales#método de reducción|método de reducción]]. En el método de Gauss se
 +
opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra
 +
el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita
 +
siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la
 +
que multiplican.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
===Ejemplo===
-
<math>
+
-
\mathbf{A} =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
3 & 7
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
hacemos
+
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
<br/>
<br/>
Línea 152: Línea 438:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}^{-1} =
+
\left\{
-
\left(
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
-
a & b
+
\\
-
\\
+
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
-
c & d
+
\\
-
\end{array}
+
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
-
\right)
+
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 165: Línea 452:
<br/>
<br/>
-
como
+
es:
<br/>
<br/>
Línea 171: Línea 458:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\left.
-
1 & 2
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\\
+
~~1 & ~~1 & ~~1
-
3 & 7
+
\\
-
\end{array}
+
~~1 & ~~1 & -1
-
\right)
+
\\
-
\cdot
+
~~1 & -1 & -1
-
\left(
+
\end{array}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\right|
-
a & b
+
\begin{array}[c]{c}
-
\\
+
~~3
-
c & d
+
\\
-
\end{array}
+
~~1
-
\right)
+
\\
-
=
+
-1
-
\left(
+
\end{array}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 0
+
-
\\
+
-
0 & 1
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 200: Línea 481:
<br/>
<br/>
-
Operando:
+
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
<br/>
<br/>
Línea 207: Línea 488:
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\left.
-
a + 2c & b + 2d
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
\\
+
~~1 & ~~1 & ~~1
-
3a + 7c & 3b + 7d
+
\\
-
\end{array}
+
~~0 & ~~0 & -2
 +
\\
 +
~~0 & -2 & -2
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
~~3
 +
\\
 +
-2
 +
\\
 +
-4
 +
\end{array}
\right)
\right)
-
=
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{cc}
 
-
1 & 0
 
-
\\
 
-
0 & 1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
\Leftrightarrow
 
-
\left\{
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
a + 2c & = & 1
 
-
\\
 
-
3a + 7c & = & 0
 
-
\\
 
-
b + 2d & = & 0
 
-
\\
 
-
3b + 7d & = & 1
 
-
\\
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 239: Línea 510:
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda
-
<math>
+
ecuación la primera.
-
\Rightarrow \left\{
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
a & = & 7
+
-
\\
+
-
b & = & -2
+
-
\\
+
-
c & = & -3
+
-
\\
+
-
d & = & 1
+
-
\\
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
===Por el método de Gauss===
+
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos
<br/>
<br/>
-
La inversa de una matriz regular &nbsp;
+
<center>
-
<math>
+
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
+
\left.
-
\right)
+
\begin{array}[c]{ccc}
-
</math>
+
~~1 & ~~1 & ~~1
-
&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
+
\\
-
<math>
+
~~0 & -2 & -2
-
\left(
+
\\
-
\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
+
~~0 & ~~0 & -2
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
~~3
 +
\\
 +
-4
 +
\\
 +
-2
 +
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
+
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
<br/>
<br/>
-
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
+
<center>
-
el metodo de Gauss son las siguientes:
+
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
 +
\\
 +
-2y \, - \, 2z & = & -4
 +
\\
 +
-2z & = & -2
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
1. Intercambiar las filas &nbsp;
+
que es equivalente al inicial.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i
+
z
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp;:
-
<math>
+
-
F_j
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; Esta operación la representaremos así
+
<br/>
<br/>
Línea 304: Línea 578:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
F_i \longleftrightarrow F_j
+
z \, = \, 1
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
 
+
En la primera y segunda ecuación, sustituimos &nbsp;
-
2. Multiplicar la fila &nbsp;
+
<math>
<math>
-
F_i
+
z
</math>
</math>
-
&nbsp; por el número &nbsp;
+
&nbsp; por la solucion de la tercera ecuación &nbsp; ( &nbsp;
<math>
<math>
-
s \neq 0
+
1 \to z
</math>
</math>
-
&nbsp; y sustituir &nbsp;
+
&nbsp; ), para obtener:
-
<math>
+
-
F_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
s \cdot F_i
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; Esta operación la representamos de la
+
-
siguiente forma:
+
<br/>
<br/>
Línea 333: Línea 597:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
+
\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
 +
\\
 +
-2y \, - \, 2 & = & -4
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 339: Línea 609:
<br/>
<br/>
-
3. Sumar las filas &nbsp;
+
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i
+
y
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
, que resolvemos para obtener &nbsp;
-
<math>
+
-
F_j
+
-
</math>,
+
-
&nbsp; multiplicadas por sendos números,
+
<math>
<math>
-
s
+
y \, = \, 1
</math>
</math>
 +
. &nbsp; Sustituimos, en la primera ecuación, &nbsp;
 +
<math>
y
y
 +
</math>
 +
&nbsp; por 1 &nbsp; ( &nbsp;
<math>
<math>
-
t
+
1 \to y
-
</math>,
+
</math>
-
y sustituir &nbsp;
+
&nbsp; ). Esto nos da una ecuación en &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i
+
x
</math>
</math>
-
&nbsp; por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
+
&nbsp;:
<br/>
<br/>
Línea 365: Línea 635:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
+
x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 371: Línea 641:
<br/>
<br/>
-
Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
+
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
-
<math>
+
-
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
+
-
</math>,
+
-
&nbsp;
+
-
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
+
-
<math>
+
-
t = 0
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
===Mediante la matriz adjunta===
+
<center>
 +
<math>
 +
x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
+
==Método de la matriz inversa==
-
<math>
+
 
-
\mathbf{A}
+
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en [[Definición y tipos#Definición|forma matricial]]:
-
</math>
+
-
&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
+
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
<math>
+
<math>
-
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}
-
\left[
+
</math>
-
\makebox{Adj}
+
</center>
-
\left(
+
-
\, \mathbf{A} \,
+
-
\right)
+
-
\right]
+
-
^t
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
donde &nbsp;
+
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\makebox{Adj}
+
\mathbf{A}^{-1}
-
\left(
+
-
\, \mathbf{A} \,
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
+
&nbsp; existe, es decir, si &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp; es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda
 +
la igualdad anterior por la izquierda por &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}^{-1}
 +
</math>
 +
, para obtener:
<br/>
<br/>
-
====Definición de matriz adjunta====
+
<center>
 +
<math>
 +
\mathbf{X} \, = \, \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
+
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes &nbsp;
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
+
&nbsp; y matriz de terminos independientes &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbf{A}
+
\mathbf{B}
</math>
</math>
-
&nbsp; y se denota por &nbsp;
+
.
-
<math>
+
 
-
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
+
<br/>
-
</math>.
+
 
-
&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
+
==Regla de Cramer==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
[[Imagen:cramer2.gif|frame|Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A
 +
él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!]]
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
 +
utilizar cuando la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
es &nbsp;
+
&nbsp; de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que &nbsp;
-
<math>
+
-
A_{ij}
+
-
</math>,
+
-
&nbsp; el adjunto del elemento de
+
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
en su fila i-esima y columna j-esima
+
&nbsp; sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
-
<math>
+
coincide.
-
\left( \, a_{ij} \, \right)}
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
====Ejemplo====
+
Cuando el sistema de ecuaciones
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
+
-
complementarios]] de los elementos de la matriz
+
<br/>
<br/>
Línea 471: Línea 733:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A} =
+
\left.
-
\left(
+
\begin{array}{c}
-
\begin{array}{ccc}
+
a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
-
1 & 2 & 3
+
\\
\\
-
4 & 5 & 6
+
a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
\\
\\
-
7 & 8 & 0
+
\dotfill
 +
\\
 +
a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right\}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 486: Línea 749:
<br/>
<br/>
-
son
+
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
<br/>
<br/>
Línea 492: Línea 755:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{ccc}
+
x_1 \, = \, \frac
-
\alpha_{11} =
+
{
-
\left|
+
\left|
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cccc}
-
5 & 6
+
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
-
\\
+
\\
-
8 & 0
+
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
-
\end{array}
+
\\
-
\right|
+
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-
&
+
\\
-
\qquad \alpha_{12} =
+
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
-
\left|
+
\end{array}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\right|
-
4 & 6
+
}
-
\\
+
{|\mathbf{A}|}
-
7 & 0
+
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
-
\end{array}
+
{
-
\right|
+
\left|
-
&
+
\begin{array}[c]{cccc}
-
\qquad \alpha_{13} =
+
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
-
\left|
+
\\
-
\begin{array}[c]{cc}
+
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
-
4 & 5
+
\\
-
\\
+
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-
7 & 8
+
\\
-
\end{array}
+
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
-
\right|
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right|
 +
}
 +
{|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{ccc}
+
\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
-
\alpha_{21} =
+
{
-
\left|
+
\left|
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}[c]{cccc}
-
2 & 3
+
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
-
\\
+
\\
-
8 & 0
+
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
-
\end{array}
+
\\
-
\right|
+
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
-
&
+
\\
-
\qquad \alpha_{22} =
+
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
-
\left|
+
\end{array}
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\right|
-
1 & 3
+
}
-
\\
+
{|\mathbf{A}|}
-
7 & 0
+
\qquad \qquad
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{23} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
7 & 8
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
\alpha_{31} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
2 & 3
+
-
\\
+
-
5 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{32} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 3
+
-
\\
+
-
4 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{33} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
4 & 5
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\end{array}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 589: Línea 813:
<br/>
<br/>
-
Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
+
En general
-
<math>
+
-
\mathbf{A}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; son:
+
<br/>
<br/>
Línea 599: Línea 819:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{ccccccccccc}
+
x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}
-
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
+
-
\\
+
-
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
+
-
\\
+
-
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
+
-
&\end{array}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 611: Línea 825:
<br/>
<br/>
-
La matriz adjunta de &nbsp;
+
donde &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}_i
 +
</math>
 +
&nbsp; es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; es
+
&nbsp; por la [[Definición y tipos|matriz de los terminos independientes]], &nbsp;
 +
<math>
 +
B
 +
</math>
 +
&nbsp;.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo===
 +
 
 +
<br/>
 +
Consideremos el sistema de ecuaciones:
<br/>
<br/>
Línea 621: Línea 850:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
+
\left\{
-
\left(
+
\begin{array}[c]{rcl}
-
\begin{array}{ccc}
+
x \, + \, y \, = \, 2
-
-48 & ~42 & -3
+
\\
-
\\
+
x \, - \, y \, = \, 0
-
~24 & -21 & ~6
+
\end{array}
-
\\
+
\right.
-
~-3 & ~~6 & -3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 636: Línea 862:
<br/>
<br/>
-
El determinante de
+
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz &nbsp;
<math>
<math>
\mathbf{A}
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
+
&nbsp; de los coeficientes es una matriz cuadrada y &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
+
|\mathbf{A}| \, = \,
-
\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
+
\left|
-
-3 \, \right) = 25
+
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & ~~1
 +
\\
 +
1 & -1
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
\, = \, -2 \neq 0
</math>
</math>
-
</center>
+
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
<br/>
<br/>
-
Por lo tanto, la matriz inversa de
 
-
<math>
 
-
\mathbf{A}
 
-
</math>
 
-
es
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
+
x \, = \, \frac
-
\left[
+
{
-
\makebox{Adj}
+
\left|
-
\left(
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\, \mathbf{A} \,
+
2 & ~~1
-
\right)
+
\\
-
\right]
+
0 & -1
-
^t =
+
\end{array}
-
\frac{1}{25} \cdot
+
\right|
-
\left(
+
}
-
\begin{array}{ccc}
+
{|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
-
-48 & ~24 & -3
+
\qquad \qquad y \, = \, \frac
-
\\
+
{
-
~42 & -21 & ~6
+
\left|
-
\\
+
\begin{array}[c]{cc}
-
~-3 & ~~6 & -3
+
1 & 2
-
\end{array}
+
\\
-
\right)
+
1 & 0
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
}
 +
{|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
</math>
</math>
</center>
</center>
-
==Ejercicios resueltos==
+
<br/>
-
 
+
-
<br>
+
-
 
+
-
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=46 Producto e invertibilidad de matrices]
+
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 09:15 9 oct 2010

Tabla de contenidos

Introducción


Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.


Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).


A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.


Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).


Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.


Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.


Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

2 = 3


El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.


Método de reducción


Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.


Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.


Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.


Ejemplo


\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 5x - 3y = 2 \\ 3x - 4y = -1 </pre> <p>\end{array} \right.

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 15x - 9y = 6 \\ -15x + 20y = 5 </pre> <p>\end{array} \right.

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

11y = 11

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es

y = 1

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la x desaparezca al sumar ambas ecuaciones.


Sutituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

5x - 3 = 2

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   x = 1 .


Método de igualación


El método de igualación consiste en lo siguiente:


Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.

donde a , b , y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).


De las dos igualdades anteriores se deduce que

b = c

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b , entonces la ecuación

b = c

no contendría dicha incognita.


Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos x .


Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye x por su solución en otras ecuaciones dode aparezca x para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.


Ejemplo


El sistema de ecuaciones

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 2x - 3y = -1 \\ 2x + 4y = 6 </pre> <p>\end{array} \right.

es equivalente a este otro

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 2x = -1 + 3y \\ 2x = 6 -4y </pre> <p>\end{array} \right.

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en y del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.


Del segundo sistema se deduce que

-1 + 3y = 6 - 4y

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es   y = 1 .


Sustituyendo y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

2x - 3 = -1

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   x = 1 .


Método de sustitución


Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> a \cdot b + c = d \\ a + e = f </pre> <p>\end{array} \right.

Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.


Aqui   a, \, b, \, c, \, d, \, e   y   f   son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.


Ejemplo


Intentemos resolver

\left\{ \begin{array}{l} </p> <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> <p>\end{array} \right.

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

2x = 1 + y

Sustituyendo   2x   por 1 + y en

2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7

se tiene que

2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es y = 1 .


Sustituyendo y por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

4 + 3y = 7

cuya solución es   x = 1 .


Método de Gauss


Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!


El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.


Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.


Ejemplo


La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{array} </pre> <p>\right.


es:


\left( </p> <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~1 & ~~1 & -1 \\ ~~1 & -1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ ~~1 \\ -1 \end{array} </pre> <p>\right)


Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:


\left( </p> <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \\ ~~0 & -2 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -2 \\ -4 \end{array} </pre> <p>\right)


Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.


Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos


\left( </p> <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & -2 & -2 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -4 \\ -2 \end{array} </pre> <p>\right)


que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2z & = & -4 \\ -2z & = & -2 \end{array} </pre> <p>\right.


que es equivalente al inicial.


Solucionamos la tercera ocuacion para obtener   z  :


z \, = \, 1


En la primera y segunda ecuación, sustituimos   z   por la solucion de la tercera ecuación   (   1 \to z   ), para obtener:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{array} </pre> <p>\right.


La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,   y , que resolvemos para obtener   y \, = \, 1 .   Sustituimos, en la primera ecuación,   y   por 1   (   1 \to y   ). Esto nos da una ecuación en   x  :


x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3


que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:


x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1


Método de la matriz inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} \, = \, \mathbf{B}


Si   \mathbf{A}^{-1}   existe, es decir, si   \mathbf{A}   es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por   \mathbf{A}^{-1} , para obtener:


\mathbf{X} \, = \, \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}


que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes   \mathbf{A}   y matriz de terminos independientes   \mathbf{B} .


Regla de Cramer


Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!
Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!


Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz   \mathbf{A}   de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que   \mathbf{A}   sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.


Cuando el sistema de ecuaciones


\left. </p> <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> <p>\right\}


satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:


x_1 \, = \, \frac { </p> <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> <p>} {|\mathbf{A}|} , \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac { </p> <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> <p>} {|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots


\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac { </p> <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m \end{array} \right| </pre> <p>} {|\mathbf{A}|} \qquad \qquad


En general


x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}


donde   \mathbf{A}_i   es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de   \mathbf{A}   por la matriz de los terminos independientes,   B  .


Ejemplo


Consideremos el sistema de ecuaciones:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, = \, 2 \\ x \, - \, y \, = \, 0 \end{array} </pre> <p>\right.


En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz   \mathbf{A}   de los coeficientes es una matriz cuadrada y   |\mathbf{A}| \, = \, \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & ~~1 \\ 1 & -1 \end{array} </pre> <p>\right| </p> <pre>\, = \, -2 \neq 0 </pre> <p> . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:


x \, = \, \frac { </p> <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 2 & ~~1 \\ 0 & -1 \end{array} \right| </pre> <p>} {|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1 \qquad \qquad y \, = \, \frac { </p> <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right| </pre> <p>} {|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1


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