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Métodos de integración

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Introducción


No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cual es el método de integración mas idoneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.


Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:


\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:


u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x 
  a partir de la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
.


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
  que la integral de partida,   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
.


Ejemplo


Calculemos la integral


\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u \left( \, x \, \right) & = x
 \\
 v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

se tiene que


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1
 \\
 v \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

Utilizando la fórmula que hemos visto antes


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

se deduce que


\int  x  \cdot  e^x  \cdot  \mathrm{d}x  =  x \cdot  e^x  -  \int  1  \cdot  e^x
\cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable


t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable 
t
es una función de 
x
, con lo cual podemos hablar de la derivada de 
t
con respecto de 
x
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:


\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}

Despejando   
\mathrm{d}t
  en la igualdad anterior, se deduce que


\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Sustituyendo   
\mathrm{d}t 
  por   
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
  y   
\mathrm{f} \left( x \right)
  por 
t 
en


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

se tiene que


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
</p>
<pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t 
</pre>
<p>

Supongamos que   
\mathrm{G} \left( x \right)
  es una primitiva de   
\mathrm{g} \left( x \right)
, entonces


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
</p>
<pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t =  \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left(
 \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C
</pre>
<p>

Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva 
\mathrm{G}
de 
\mathrm{g}
.


Ejemplo


Calculemos mediante el método de sustitución la integral


\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right)
 \\
 \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

Observese que


\begin{array}{rl}
</p>
<pre> \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x
 \\
 \int  e^x  \cdot \cos  \left(  \,  e^x \,  \right)  \cdot  \mathrm{d}x & =  \int
 \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x 
</pre>
<p>\end{array}

En este caso, una primitiva de   
\mathrm{g} \left( x \right)
  es


\mathrm{G} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)

Por lo tanto


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
</p>
<pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t =  \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left(
 \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C
</pre>
<p>


Integración de cocientes de plinomios


Sean   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  dos polinomios, entonces:


\frac{\mathrm{P} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{Q}  \left( \, x  \, \right)} =
\mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{Q}  \left( \, x  \, \right)}

donde   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  es un polinomio ( el cociente ) y   
\mathrm{R} \left( \, x \, \right)
  es otro polinomio ( el resto ) de grado menor o igual al grado de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


Si el grado de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es menor que el grado de   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  entonces   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  es cero y   
\mathrm{R} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
.


Como


\int  \frac{\mathrm{P} \left(  \,  x  \, \right)}{\mathrm{Q}  \left(  \, x  \,
</p>
<pre> \right)} =
</pre>
<p>\int \mathrm{C} \mathrm{d}x + \int  \frac{\mathrm{R} \left(  \,  x  \, \right)}{\mathrm{Q}  \left(  \, x  \,
</p>
<pre> \right)} \mathrm{d}x
</pre>
<p>

para integrar cociente de polinomios nos podemos restringir al caso en el que el polinomio divisor   
</p>
<pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
</pre>
<p>

  es de grado mayor que el polinomio dividendo 

  
</p>
<pre>\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
</pre>
<p>

  es de grado mayor que el polinomio divisor.


Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es factorizar el polinomio divisor  
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
.


Una vez factorizado   
\mathrm{Q}
  podemos escribir este polinomio como un producto de polinomios de grado uno y/o de grado dos.


\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1} \cdot
\left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2} \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_m \, \right)^{k_m} \cdot
\mathrm{Q}_1 \left(  \, x \, \right)  \cdot \mathrm{Q}_2 \left( \,  x \, \right)
\cdot \ldots \cdot \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)

donde


r_1, \, r_2, \, \ldots, \, r_m

son todas las raices reales de   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  y


\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right),  \, \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right), \,
\ldots, \, \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)

son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).


Una vez que tenemos   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  factorizado podemos reescribir   
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q}\left( \, x \, \right)}
  de la forma

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]

Donde hemos seguido la siguiente notación:

  1. 1.


A_{i,j}
  es una constante que multiplica a   
\frac{1}{\left( \, x - r_i \, \right)^j}
.


  1. 2. 


B_i \cdot x + C_i
  es un polinomio de grado uno que multiplica a   
\frac{1}{\mathrm{Q}_i \left( \, n \, \right)}
.   
B_i
  y   
C_i
  son constantes.


Por lo tanto, la integral de   
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}
  es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que hemos integrado   
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}
.


Estas integrales mas simples son casi inmediatas:


\int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} =
\frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \,
</p>
<pre> \right)^\left( \, j - 1 \, \right)} 
</pre>
<p>

Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable  
x - r_i \longrightarrow t
  y la integral inmediata


\int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^\left( \, j
</p>
<pre> - 1 \, \right)}{\left( \, 1 - j \, \right)}
</pre>
<p>

La integral


\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}

se resuelve poniendo el polinomio   
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)
  de la forma:


\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) = D_i \cdot
\left(
</p>
<pre> \left(
   \, x - E_i \,
 \right)^2
- F_i \,
</pre>
<p>\right)

La integral


\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}

se descompone en dos:


\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} =
\int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot
\left(
</p>
<pre> \left(
   \, x - E_i \,
 \right)^2
- F_i \,
</pre>
<p>\right)}
+ \int \frac{C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}

La primera integral se resuelve mediante el cambio de variable   
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) \longrightarrow t
:


\int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot
\left(
</p>
<pre> \left(
   \, x - E_i \,
 \right)^2
- F_i \,
</pre>
<p>\right)}
</p>
<pre>= G_i \cdot \log \left| \, \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)\right| + \mathrm{cte}
</pre>
<p>

donde   
G_i
  es una constante ( un número que no depende de 
x
, como puede ser el 2 o 
\pi 
).


La segunda integral se resuelve mediante el cambio de variable   
x - E_i \longrightarrow t
: <center> 
\int \frac{B_i \cdot x}{D_i \cdot
\left(
</p>
<pre> \left(
   \, x - E_i \,
 \right)^2
- F_i \,
</pre>
<p>\right)} = \frac{C_i}{D_i} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, x - E_i \, \right)


Ejemplo


Para verlo todo mas claro resolvamos la siguiente integral:


\int


Ejemplo


   
 
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