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Métodos de integración

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Tabla de contenidos

Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:


\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:


u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x 
  a partir de la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
.


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
  que la integral de partida,   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
.


Ejemplo


Calculemos la integral


\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u \left( \, x \, \right) & = x
 \\
 v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

se tiene que


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1
 \\
 v \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

Utilizando la fórmula que hemos visto antes


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

se deduce que


\int  x  \cdot  e^x  \cdot  \mathrm{d}x  =  x \cdot  e^x  -  \int  1  \cdot  e^x
\cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable


t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable 
t
es una función de 
x
, con lo cual podemos hablar de la derivada de 
t
con respecto de 
x
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:


\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}

Ambos miembros de la igualdad anterior son dos formas distintas de denotar la derivada de la función 
\mathrm{f}
.


Despejando   
\mathrm{d}t
  en la igualdad anterior, se deduce que


\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Sustituyendo   
\mathrm{d}t 
  por   
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
  y   
\mathrm{f} \left( x \right)
  por 
t 
en


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

se tiene que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Supongamos que   
\mathrm{G} \left( x \right)
  es una primitiva de   
\mathrm{g} \left( x \right)
, entonces


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
</p>
<pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t =  \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left(
 \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C
</pre>
<p>


Ejemplo


Calculemos mediante el método de sustitución la integral


\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> \mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right)
 \\
 \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

Observese que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

En este caso, una primitiva de   
\mathrm{g} \left( x \right)
  es


\mathrm{G} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)

Por lo tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

   
 
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