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Métodos de integración

De Wikillerato

Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:


\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:


u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x 
  a partir de la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
.


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
  que la integral de partida,

  


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
.


Ejemplo


Calculemos la integral


\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

se tiene que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Utilizando la fórmula que hemos visto antes


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

Por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver el problema es haciendo el cambio de variable


t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable 
t
es una función de 
x
, con lo cual podemos hablar de la derivada de 
t
con respecto de 
x
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Supongamos que existe una funcion   
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
  tal que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Entonces, se tendria que:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Con este cambio de variable, la integral anterior se pondria de la der

   
 
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