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Métodos de integración

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 45: Línea 45:
</math>
</math>
&nbsp; que la integral de partida,
&nbsp; que la integral de partida,
-
&nbsp;
+
&nbsp;
<math>
<math>
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
Línea 69: Línea 69:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{l}
+
\begin{array}{ll}
-
u \left( \, x \, \right) = x
+
u \left( \, x \, \right) & = x
\\
\\
-
v^\prime \left( \, x \, \right) = e^x
+
v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 79: Línea 79:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{l}
+
\begin{array}{ll}
-
u^\prime \left( \, x \, \right) = 1
+
u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1
\\
\\
-
v \left( \, x \, \right) = e^x
+
v \left( \, x \, \right) & = e^x
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>

Revisión de 15:28 15 nov 2010

Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:


\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:


u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x 
  a partir de la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
.


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   
\int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
  que la integral de partida,   
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x
.


Ejemplo


Calculemos la integral


\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u \left( \, x \, \right) & = x
 \\
 v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

se tiene que


\begin{array}{ll}
</p>
<pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1
 \\
 v \left( \, x \, \right) & = e^x
</pre>
<p>\end{array}

Utilizando la fórmula que hemos visto antes


\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

Por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:


\int  \mathrm{g}^\prime \left(  \,  \mathrm{f} \left(  x  \right) \right)  \cdot
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver el problema es haciendo el cambio de variable


t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable 
t
es una función de 
x
, con lo cual podemos hablar de la derivada de 
t
con respecto de 
x
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Supongamos que existe una funcion   
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
  tal que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Entonces, se tendria que:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Con este cambio de variable, la integral anterior se pondria de la der

   
 
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