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La divisibilidad en los polinomios

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\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 3
+
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1
\\
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\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
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Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar
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previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de
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calcular el maximo común divisor de dos números naturales.
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\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x
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\cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}
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El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es
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Revisión de 09:04 19 sep 2010

Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es divisible por otro polinomio   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  cuando existe otro polinomio   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  se llaman divisores de   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
.


Ejemplo



x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto el polinomio   
x^2 - 3x + 2
  es divisible por los polinomios   
x - 1
  y   
x - 2 
, o dicho de otra manera, los polinomios   
x - 1 
  y   
x - 2
son divisores del polinomio   
x^2 - 3x + 2
.


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de grado 
n
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que 
n
y mayor que 0 es divisor de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos de polinomios irreducibles


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:


\begin{array}{l}
</p>
<pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1
</pre>
<p>\\
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
\end{array}


Ejemplo de descomposición de un polinomio en producto de polinomios irreducibles


Una descomposición del polinomio  
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1  = \left( \, 2x - 2  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{2} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right)
</pre>
<p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real 
a
distinto de 0, se tiene que


x^3 - 1  = \left( \, ax - a  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{a} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right)
</pre>
<p>


Simplificación de fracciones algebraicas


Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el numerador y en el denominador por su maximo común divisor. Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de calcular el maximo común divisor de dos números naturales.


En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los polinomios irreducibles que se obtengan verifiquen lo siguiente:


Si   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) 
  es un polinomio irreducible de grado 
n
obtenido en la factorización de un polinomio, entonces el coeficiente que multiplica a   
x^n
  en   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) 
  es 1.


De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del denominador ).


Ejemplo



\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x
</p>
<pre>   \cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} 
</pre>
<p>

El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es en este caso 
x
.

   
 
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