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La divisibilidad en los polinomios

De Wikillerato

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Línea 13: Línea 13:
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; cuando existe otro polinomio con un binomio&nbsp;
+
&nbsp; cuando existe otro polinomio &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que no
+
&nbsp; tal que
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 32: Línea 32:
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp;no se llaman '''''divisores''''' de &nbsp;
+
&nbsp; se llaman '''''divisores''''' de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P}
\mathrm{P}
Línea 56: Línea 56:
x^2 - 3x + 2
x^2 - 3x + 2
</math>
</math>
-
&nbsp; no es divisible por los polinomios &nbsp;
+
&nbsp; es divisible por los polinomios &nbsp;
<math>
<math>
x - 1
x - 1
Línea 72: Línea 72:
x - 2
x - 2
</math>
</math>
-
&nbsp; no son divisores del polinomio
+
&nbsp; son divisores del polinomio
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
Línea 92: Línea 92:
n > 0
n > 0
</math>
</math>
-
se dice que tal vez sea irreducible cuando ningún polinomio de grado
+
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado
-
mayor que
+
menor que
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
y mayor que 1 es divisor de &nbsp;
+
y mayor que 0 es divisor de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
Línea 112: Línea 112:
<br/>
<br/>
-
Los siguientes dos polinomios no son irreducibles:
+
Los siguientes dos polinomios son irreducibles:
<center>
<center>

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es divisible por otro polinomio   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  cuando existe otro polinomio   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
  se llaman divisores de   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
.


Ejemplo



x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   
x^2 - 3x + 2
  es divisible por los polinomios   
x - 1
  y   
x - 2 
, o dicho de otra manera, los polinomios   
x - 1 
  y   
x - 2
  son divisores del polinomio   
x^2 - 3x + 2
.


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de grado 
n > 0
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que 
n
y mayor que 0 es divisor de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:


\begin{array}{l}
</p>
<pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1
</pre>
<p>\\
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1
\end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   
x^3 - 1 
  en producto de polinomios irreducibles es


x^3 - 1  = \left( \, 2x - 2  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{2} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right)
</pre>
<p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real 
a
distinto de 0, se tiene que


x^3 - 1  = \left( \, ax - a  \, \right) \cdot \left( \,  \frac{1}{a} x^2 +
</p>
<pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right)
</pre>
<p>


   
 
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