Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

La derivada como una tasa de variación instantánea

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:46 11 ene 2007

La derivada de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x \, = \, a
,   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
, si existe, es el valor del limite:



\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  es un número real, la función   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x \, = \, a
. Si   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, a \,
</pre>
<p>\right)
  no es un número real o el límite no existe, la función   
\mathrm{f}
  no es derivable en dicho punto.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, x^2 
  en   
x \, = \, 2
:



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
</pre>
<p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,



\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
\left(
</p>
<pre>  \, h \, + 4 \, \,
\right)
\, = \, 4
</pre>
<p>


%% }}} %% {{{ =

Tasa de variación media


Supongamos que un coche formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   
y
, se puede ver como una función,   
\mathrm{f}
, del tiempo,   
x
. Es decir:



y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   
9
  al instante   
13.4
  es:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


En general, la tasa de variación media de la función   
\mathrm{f}
  en   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
  se define como el cociente:



\frac{\mathrm{f} \left( \, b  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a  \,
</p>
<pre> \right)}{b \, - \, a}
</pre>
<p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  se obtiene haciendo tender   
b
  a   
a
  en la tasa de variación media' de la función   
f
  en el intervalo   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
  es


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


que es precisamente la derivada de la función   
f
  en el punto   
x \, = \, a
.

   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.