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La derivada como una tasa de variación instantánea

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(Diferencias entre revisiones)
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Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
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Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
siguiente tabla:
siguiente tabla:
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y
y
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, se puede ver como una función, &nbsp;
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, se puede ver como una función,
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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x
x
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</math>. Es decir:
+
</math>; es decir:
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\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
-
\right)}{6.7 \, - \, 4.5} \, = \, 2
+
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
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En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
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En general, la tasa de variación media de la función
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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&nbsp; en &nbsp;
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en el periodo que va desde el instante &nbsp;
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\left[
+
t_1
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\, a, \, b \,
+
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-
\right]
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&nbsp; hasta el instante &nbsp;
 +
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 +
t_2
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&nbsp; se define como el cociente:
&nbsp; se define como el cociente:
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\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \,
-
\right)}{b \, - \, a}
+
\right)}{t_2 \, - \, t_1}
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La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
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La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función
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f
+
\mathrm{f}
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&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el instante &nbsp;
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x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
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&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
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-
b
+
t_2
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&nbsp; a &nbsp;
&nbsp; a &nbsp;
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a
+
t_1
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&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
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&nbsp; en la tasa de variación media de la función
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f
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&nbsp; en el intervalo &nbsp;
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en el periodo &nbsp;
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\left[
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\, a, \, b \,
+
\, t_1, \, t_2 \,
-
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+
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</math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
+
</math>. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función
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f
+
\mathrm{f}
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&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el instante &nbsp;
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-
x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
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&nbsp; es
&nbsp; es
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-
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
+
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}
</math>
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que es precisamente la derivada de la función &nbsp;
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que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función
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f
+
\mathrm{f}
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&nbsp; en el punto &nbsp;
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x \, = \, t_1
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NOTA: En el límite anterior &nbsp;
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-
x \, = \, a
+
t_2 \, = \, t_1 \, + \, h
</math>.
</math>.

Revisión actual

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   
y
, se puede ver como una función, 
\mathrm{f}
, del tiempo,   
x
; es decir:



y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   
9
  al instante   
13.4
  es:



\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4  \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9  \,
</p>
<pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</pre>
<p>


En general, la tasa de variación media de la función 
\mathrm{f}
en el periodo que va desde el instante   
t_1
  hasta el instante   
t_2
  se define como el cociente:



\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1  \,
</p>
<pre> \right)}{t_2 \, - \, t_1}
</pre>
<p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función 
\mathrm{f} 
en el instante   
x \, = \, t_1
  se obtiene haciendo tender   
t_2
  a   
t_1
  en la tasa de variación media de la función 
\mathrm{f}
en el periodo   
\left[
</p>
<pre>  \, t_1, \, t_2 \,
</pre>
<p>\right].
. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función 
\mathrm{f}
en el instante   
x \, = \, t_1
  es



\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función 
\mathrm{f}
en el instante   
x \, = \, t_1
.


NOTA: En el límite anterior   
t_2 \, = \, t_1 \, + \, h
.


   
 
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