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Límites laterales

De Wikillerato

Límite por la derecha


Se dice que el límite por la derecha de una función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x_0
  es   
L
, si toda sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  cuyos terminos son todos mayores que   
x_0
  y que tiende a   
x_0
  verifica



\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n  \, \right) \, = \, L


El límite por la derecha se denota por



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
      o bien       
\lim_{{ x \to x_0 \atop x > x_0}} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
  por la derecha.


Límite por la izquierda


Se dice que el límite por la izquierda de una función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x_0
  es   
L
, si toda sucesión   
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
  cuyos terminos son todos menores que   
x_0
  y que tiende a   
x_0
  verifica



\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n  \, \right) \, = \, L


El límite por la izquierda se denota por



\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
      o bien       
\lim_{{ x \to x_0 \atop x_0 > x}} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
  por la izquierda.


Ejemplo


Consideremos la función


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) =
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{ll}
   x^2 & , \quad \text{ si } x > 2
   \\
   2 \cdot x - 1 & , \quad \text{ si } 2 \ge x
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

y calculemos ambos limites laterales cuando 
x 
tiende a dos.


Como para valores de 
x
mayores que dos


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2

se tiene que


\lim_{x \to 2^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) =
\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4


Para calcular el otro limite lateral, tenemos en cuenta que cuando 
x
es menor que dos


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2 \cdot x - 1

y, por lo tanto


\lim_{x \to 2^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) =
\lim_{x \to 2^-}
\left(
</p>
<pre> \, 2 \cdot x - 1 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= 3
</pre>
<p>


   
 
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