Límite de una función

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%% {{{ =limite

El límite de la función $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $x_0$ existe y es igual a $L$ , si ambos límites laterales existen y son iguales a $L$ , es decir

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L$

Lo expresamos de la siguiente manera:

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L$

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a $L$ como queramos eligiendo $x$ lo suficientemente proximo a $x_0$ , por la derecha o por la izquierda.

Se dice que el límite de la funcion $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $+\infty$ , es $L$ si cualquier sucesión $\left( \, x_n \, \right) _{n \in N}$ que tiende a $+\infty$ verifica que $\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L$ .

Lo expresamos como:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a $L$ como queramos eligiendo $x$ lo suficientemente grande.

Analogamente, se dice que el límite de la funcion $\mathrm{f}$ , cuando $x$ tiende a $-\infty$ , es $L$ si cualquier sucesión $\left( \, x_n \, \right) _{n \in N}$ que tiende a $-\infty$ verifica que $\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L$ .

Lo expresamos como:

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L$

El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tan cercano a $L$ como queramos eligiendo $x$ lo suficientemente pequeño.

%% }}} %% {{{ =continuidad de funciones

Una función $\mathrm{f}$ es continua en el punto $x \, = \, x_0$ si $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)$ .

El que una función $\mathrm{f}$ sea continua en el punto $x \, = \, x_0$ implica que $\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)$ existe y que $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ tambien existe.

Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo.

Una función es continua en todo su dominio cuando lo es en todos los puntos que lo componen.

%% }}} %% {{{ =discontinuidades

Definición

Una función es discontinua en un punto $x \, = \, x_0$ si $\mathrm{f}$ no es continua en dicho punto.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad evitable

Una función $\mathrm{f}$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x \, = \, x_0$ cuando existe el limite de la función en dicho punto.

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1 \\ 3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$ mientras que $\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3$ , es decir:

$\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)$

Como $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ existe, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en el punto $x \, = \, 1$ es evitable.

Discontinuidad de primera especie

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto $x \, = \, x_0$ si los limites laterales de $f$ en $x \, = \, x_0$ existen pero son distintos, es decir:

$\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x \\ x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 1$ porque $\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al ser ambos limites laterales distintos:

$\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0$

$\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2$

Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que $\mathrm{f}$ tiene en el punto $x \, = \, 1$ es de primera especie.

Discontinuidad de segunda especie

Una función $f$ presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto $x \, = \, x_0$ si no existe alguno de los limites laterales de $f$ en dicho punto.

Ejemplo

La función $\mathrm{f}$ definida por:

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x \\ 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0 \end{array} </pre> \right.$

no es continua en el punto $x \, = \, 0$ porque $\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ no existe, al no existir el limite por la izquierda de $\mathrm{f}$ cuando $x \to 0$ :