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Límite de una función

De Wikillerato

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==Nota sobre terminología==
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Utilizamos la palabra '''''pequeño''''' ( '''''grande''''') de la siguiente manera:
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b > a \left( \, a > b \, \right)
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es mas pequeño ( grande ) que
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b
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a
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es menor ( mayor ) que
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==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
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\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
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\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
+
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 70: Línea 115:
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, por la derecha o por la izquierda.
, por la derecha o por la izquierda.
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===Limite infinito===
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x_0 \in\mathbb{R}
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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x
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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x_0
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 + \delta \,
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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El límite de la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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x
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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x_0 \in\mathbb{R}
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
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-\infty
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
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x
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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<math>
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x_0
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</math>.
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Es decir
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\left(
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\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 + \delta \, \right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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==Limite de f(x) cuando x tiende a infinito==
==Limite de f(x) cuando x tiende a infinito==
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===Limite finito===
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&nbsp; tiende a &nbsp;
&nbsp; tiende a &nbsp;
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+\infty
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, es &nbsp;
, es &nbsp;
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&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
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-
\left( \, x_n \, \right)
+
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
_{n \in N}
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&nbsp; que tiende a &nbsp;
&nbsp; que tiende a &nbsp;
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+\infty
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\infty
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&nbsp; verifica que &nbsp;
&nbsp; verifica que &nbsp;
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\lim_{x \to +\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
+
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
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\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
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x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
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\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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x
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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x
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lo suficientemente grande.
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Es decir
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
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\right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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===Limite menos infinito===
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El límite de la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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x
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
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x
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lo suficientemente pequeño.
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Es decir
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
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\left(
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\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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[[Category:Matemáticas]]
==Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito==
==Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito==
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Analogamente, se dice que el límite de la funcion &nbsp;
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===Limite finito===
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Se dice que el límite de la funcion &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
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-
\left( \, x_n \, \right)
+
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
_{n \in N}
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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Aqui, la palabra '''''pequeño''''' ( '''''grande''''') la utilizamos de la siguiente manera:
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Es decir
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\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
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\right)
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===Limite infinito===
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El límite de la función &nbsp;
<math>
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-
a
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\mathrm{f}
</math>
</math>
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es mas pequeño ( grande ) que
+
, cuando &nbsp;
<math>
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-
b
+
x
</math>
</math>
-
si y solo si
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
-
b > a \left( \, a > b \, \right)
+
-\infty
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</math>.
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
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\infty
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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x
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lo suficientemente pequeño.
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Es decir
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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===Limite menos infinito===
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El límite de la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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, cuando &nbsp;
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x
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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-\infty
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
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-\infty
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, si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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</math>
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
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<math>
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x
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lo suficientemente pequeño.
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Es decir
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<center>
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<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
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\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
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\right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]
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Revisión de 10:37 13 ago 2010

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:



a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si y solo si   
b > a \left( \, a > b \, \right)
.


Es decir, 
a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si 
a
es menor ( mayor ) que 
b
.


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
L \in \mathbb{R}
, si ambos límites laterales existen y son iguales a   
L 
, es decir


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L 
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
, por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente cercano a   
x_0
.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente cercano a   
x_0
.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente grande.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente grande.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
-\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty



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