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Límite de una función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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==Nota sobre terminología==
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Utilizamos la palabra '''''pequeño''''' ( '''''grande''''') de la siguiente manera:
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a
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</math>
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es mas pequeño ( grande ) que
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b
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</math>
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si y solo si
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b > a \left( \, a > b \, \right)
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</math>.
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Es decir,
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a
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</math>
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es mas pequeño ( grande ) que
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b
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</math>
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si
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a
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</math>
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es menor ( mayor ) que
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b
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La distancia entre dos puntos
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a
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</math>
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y
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b
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de la recta real
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\, a, \, b \in \mathbb{R} \,
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es &nbsp;
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\left| \, a - b \, \right|
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&nbsp; Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas '''''proximos''''' o
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'''''cercanos''''' diremos que estan los puntos
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a
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y
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Por ejemplo,
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\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|
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==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
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===Limite finito===
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
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x
x
Línea 23: Línea 119:
L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
</math>
</math>
-
, si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
+
si ambos [[Límites laterales|límites laterales]] existen y son iguales a
&nbsp;
&nbsp;
<math>
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Línea 69: Línea 165:
x_0
x_0
</math>
</math>
-
, por la derecha o por la izquierda.
+
, &nbsp; por la derecha o por la izquierda.
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===Limite infinito===
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El límite de la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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cuando &nbsp;
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x
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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x_0 \in\mathbb{R}
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</math>
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&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
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<math>
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\infty
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</math>
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si podemos hacer &nbsp;
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<math>
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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</math>
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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<math>
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x
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</math>
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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<math>
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x_0
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</math>
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&nbsp; por la izquierda &nbsp;
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\left( \, x_0 > x \, \right)
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.
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Es decir
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<center>
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
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\right)
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</center>
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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</center>
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<br/>
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Analogamente, el límite de la función &nbsp;
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<math>
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\mathrm{f}
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</math>
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cuando &nbsp;
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<math>
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x
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</math>
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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<math>
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x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
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&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
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<math>
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\infty
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</math>
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si podemos hacer &nbsp;
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<math>
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
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<math>
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x
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</math>
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lo suficientemente cercano a &nbsp;
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<math>
 +
x_0
 +
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&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
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\left( \, x > x_0 \, \right)
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<br/>
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Es decir
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<center>
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<math>
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
 +
\right)
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</math>
 +
</center>
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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<br/>
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<center>
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<math>
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\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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</math>
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</center>
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<br/>
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====Ejemplo====
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<br/>
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Demostremos que
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<center>
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<math>
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\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty
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</math>
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</center>
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Para ello seleccionamos un &nbsp;
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<math>
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y \in \mathbb{R}
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</math>
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&nbsp; cualquiera e intentamos encontrar un &nbsp;
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<math>
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 +
</math>
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&nbsp; de manera que
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<center>
 +
<math>
 +
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
 +
</math>
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</center>
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Si
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<math>
 +
y
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</math>
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no es positivo, entonces cualquier &nbsp;
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</math>
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&nbsp; verifica
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<center>
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<math>
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x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
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</math>
 +
</center>
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 +
Si
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<math>
 +
y
 +
</math>
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es positivo, entonces
 +
<center>
 +
<math>
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\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0
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</math>
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</center>
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Por lo tanto, si elegimos
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<center>
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<math>
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\delta = \frac{1}{y}
 +
</math>
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</center>
 +
se verifica que
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<center>
 +
<math>
 +
x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
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 +
===Limite menos infinito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
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El límite de la función &nbsp;
 +
<math>
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\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
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<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''izquierda''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la izquierda
 +
<math>
 +
\left( \, x_0 > x \, \right)
 +
</math>
 +
.
 +
 
 +
<br/>
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Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Analogamente, el límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in\mathbb{R}
 +
</math>
 +
&nbsp; por la '''''derecha''''' existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente cercano a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; por la derecha &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, x > x_0 \,
 +
\right)
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Cuando alguno de los limites laterales de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; es infinito o menos infinito, la grafica de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas verticales|asintota vertical]] de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
x = x_0
 +
</math>.
<br/>
<br/>
==Limite de f(x) cuando x tiende a infinito==
==Limite de f(x) cuando x tiende a infinito==
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Limite finito===
<br/>
<br/>
Línea 81: Línea 513:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 87: Línea 519:
&nbsp; tiende a &nbsp;
&nbsp; tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
+\infty
+
\infty
</math>
</math>
-
, es &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
Línea 100: Línea 532:
&nbsp; que tiende a &nbsp;
&nbsp; que tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
+\infty
+
\infty
</math>
</math>
&nbsp; verifica que &nbsp;
&nbsp; verifica que &nbsp;
Línea 115: Línea 547:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to +\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
+
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 121: Línea 553:
<br/>
<br/>
-
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
+
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 134: Línea 566:
</math>
</math>
&nbsp; lo suficientemente grande.
&nbsp; lo suficientemente grande.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
 +
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Si el límite de la funcion &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces la gráfica de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
 +
derecha de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
y = L
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Limite infinito===
 +
 +
<br/>
 +
 +
El límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente grande.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Limite menos infinito===
 +
 +
<br/>
 +
 +
El límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
lo suficientemente pequeño.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
Lo expresamos de la siguiente manera:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 141: Línea 725:
<br/>
<br/>
-
Analogamente, se dice que el límite de la funcion &nbsp;
+
===Limite finito===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Se dice que el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, cuando &nbsp;
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
x
x
Línea 153: Línea 741:
-\infty
-\infty
</math>
</math>
-
, es &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
L \in \mathbb{R}
L \in \mathbb{R}
Línea 201: Línea 789:
<br/>
<br/>
-
Aqui, la palabra '''''pequeño''''' ( '''''grande''''') la utilizamos de la siguiente manera:
+
Es decir
 +
<center>
 +
<math>
 +
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
 +
Si el límite de la funcion &nbsp;
<math>
<math>
-
a
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
es mas pequeño ( grande ) que
+
cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
b
+
x
</math>
</math>
-
si y solo si
+
&nbsp; tiende a &nbsp;
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
-
b > a \left( \, a > b \, \right)
+
-\infty
 +
</math>
 +
es &nbsp;
 +
<math>
 +
L \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces la gráfica de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
 +
izquierda de ecuación &nbsp;
 +
<math>
 +
y = L
</math>.
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Limite infinito===
 +
 +
<br/>
 +
 +
El límite de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
-\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
 +
<math>
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\infty
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</math>
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si podemos hacer &nbsp;
 +
<math>
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
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&nbsp; tan grande como queramos, eligiendo
 +
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x
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lo suficientemente pequeño.
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Es decir
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
 +
\right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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<br/>
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\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty
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===Limite menos infinito===
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El límite de la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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cuando &nbsp;
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x
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&nbsp; tiende a &nbsp;
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&nbsp; existe y es igual a &nbsp;
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-\infty
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si podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
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&nbsp; tan pequeño como queramos, eligiendo
 +
<math>
 +
x
 +
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lo suficientemente pequeño.
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<br/>
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Es decir
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<math>
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
 +
\left(
 +
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
 +
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
 +
\right)
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Lo expresamos de la siguiente manera:
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\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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Revisión actual

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:



a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si y solo si   
b > a \left( \, a > b \, \right)
.


Es decir, 
a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si 
a
es menor ( mayor ) que 
b
.


La distancia entre dos puntos 
a
y 
b
de la recta real 
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \,
</pre>
<p>\right)
es   
\left| \, a - b \, \right|
.   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos 
a
y 
b
.


Por ejemplo, 
-1
esta mas cerca de 
2
que el 
7
ya que


\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
L \in \mathbb{R}
si ambos límites laterales existen y son iguales a   
L 
, es decir



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L 
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda   
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y,  \, \quad \forall x \in  \left( \, x_0 - \delta, \,  x_0 \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left( \, x > x_0 \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que


\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   
y \in \mathbb{R}
  cualquiera e intentamos encontrar un   
\delta > 0
  de manera que


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
no es positivo, entonces cualquier   
\delta > 0
  verifica


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
es positivo, entonces


\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos


\delta = \frac{1}{y}

se verifica que


x \in  \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda 
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left(
</p>
<pre> \, x > x_0 \,
</pre>
<p>\right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0
  es infinito o menos infinito, la grafica de 
\mathrm{f}
tiene una asintota vertical de ecuación   
x = x_0
.


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty
es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente grande.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)


Si el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty
es   
L \in \mathbb{R}
,   entonces la gráfica de la función 
\mathrm{f}
tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación   
y = L
.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente grande.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty
es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
-\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)


Si el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty
es   
L \in \mathbb{R}
,   entonces la gráfica de la función 
\mathrm{f}
tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación   
y = L
.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


   
 
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