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Límite de una función

De Wikillerato

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==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
==Limite de f(x) cuando x tiende a un número real==
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\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
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x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
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x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y
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\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 /
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\left(
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\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
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\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 + \delta \, \right)
+
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \cup \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
\right)
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
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\left( \, x_n \, \right)
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\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
_{n \in N}
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 307: Línea 406:
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
Línea 353: Línea 452:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
\right)
\right)
Línea 408: Línea 507:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
-
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)
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[[Category:Matemáticas]]
 
==Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito==
==Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito==
Línea 454: Línea 551:
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
&nbsp; si cualquier sucesión &nbsp;
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-
\left( \, x_n \, \right)
+
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
_{n \in N}
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Línea 480: Línea 577:
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El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
+
El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
Línea 501: Línea 598:
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
-
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)
\right)
Línea 546: Línea 643:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
-
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, \mathrm{f} \left( \, x \,
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)
\right)
Línea 601: Línea 698:
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
\left(
-
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
+
\, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)
\right)

Revisión de 12:12 18 ago 2010

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:


a es mas pequeño ( grande ) que b si y solo si   b > a \left( \, a > b \, \right) .


Es decir, a es mas pequeño ( grande ) que b si a es menor ( mayor ) que b .


La distancia entre dos puntos a y b de la recta real ( a, \, b \in \mathbb{R} ) es   \left| \, a - b \, \right| .   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos a y b .

Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   L \in \mathbb{R} , si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 , por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   \infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0 .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \cup \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty

Para ello seleccionamos un   y \in \mathbb{R}   cualquiera e intentamos encontrar un

\delta > 0

de manera que

x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y

Si y no es positivo, entonces cualquier \delta > 0 verifica

x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y

Si y es positivo, entonces

\frac{1}{x^2} > y \Leftrightarrow \frac{1}{\left| x \right|} > \sqrt{y} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{y}} > x > -\frac{1}{\sqrt{y}}

Por lo tanto, si elegimos

\delta = \frac{1}{\sqrt{y}}

se verifica que

x \in \left( \, -\delta, \, 0 \, \right) \cup \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x^2} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   -\infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0 .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \cup \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   \infty , es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   \infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   \infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente grande.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   -\infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   -\infty , es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   \infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   -\infty , si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


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