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Indeterminaciones

De Wikillerato

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==Introducción==
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Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
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Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son [[Continuidad de una función|continuas]] en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
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es continua en un punto, el limite de
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x_0 \in \mathbb{R}
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\mathrm{f}
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&nbsp; se puede calcular simplemente evaluando
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son continuas e&nbsp;
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entonces se puede calcular el límite
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x_0
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\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
-
\, \right)} = \frac{\mathrm{f}\left( \, x_0 \, \right)}{\mathrm{g}\left( \,
+
\, \right)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
-
x_0 \, \right)}
+
\right)}{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
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¿Pero que sucede cuando
¿Pero que sucede cuando
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\mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) = 0
+
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
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#1. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 </math>, &nbsp; o bien
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#2. &nbsp; <math> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 </math>.
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#2. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 </math>.
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En el primer caso, la función &nbsp;
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\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}
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&nbsp; tendria una asintota vertical en &nbsp;
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x = x_0
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En el segundo caso, se debe calcular
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En este último caso, de exisir el limite
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de otra manera.
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se ha de calcular de otra manera.
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x - x_0
x - x_0
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&nbsp; y se vuelve a calcular el limite por el procedimiento usual ( si ello es
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cuantas veces sea posible.
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posible ).
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nos queda que
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una vez y luego otra, nos queda que
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\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
-
\, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}
+
\, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
 +
\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
</math>
</math>
</center>
</center>
-
La división se puede hacer por la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]].
+
 
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Todas esas divisiones se puede hacer por la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]].
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\mathrm{g}
\mathrm{g}
</math>
</math>
-
se puede utilizar la regla de L`H\^opital:
+
se puede utilizar la '''''regla de L'Hôpital''''':
 +
 
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Si existe
Si existe
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Línea 257: Línea 263:
\right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
\right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
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</math>
-
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donde &nbsp;
donde &nbsp;
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Línea 284: Línea 289:
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-
\lim_{x \to 0} \frac{sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 298: Línea 303:
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<math>
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-
\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 305: Línea 310:
\frac{0}{0}
\frac{0}{0}
</math>.
</math>.
-
&nbsp;
+
 
-
Esto no significa que el limite de exista, de hecho si derivamos el numerador y
+
<br/>
 +
 
 +
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y
el denominador en &nbsp;
el denominador en &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
&nbsp; obtenemos &nbsp;
&nbsp; obtenemos &nbsp;
Línea 321: Línea 328:
tiende a
tiende a
<math>
<math>
-
\infty
+
0
</math>
</math>
tiende a 1.
tiende a 1.
Línea 327: Línea 334:
<br/>
<br/>
-
Por lo tanto, por la regla de L'H\^opital
+
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x} =
+
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1
</math>
</math>
Línea 338: Línea 345:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = \cos \left( \, 0 \, \right)
+
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
 +
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1
</math>
</math>
-
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+
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[[Categoría:Matemáticas]]

Revisión de 16:41 25 ago 2010


Tabla de contenidos

Introducción


Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.


Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales   
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
  , el coseno, el seno, etc.


Si una función 
\mathrm{f}
es continua en   
x_0 \in \mathbb{R}
,   el limite de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0 
  se puede calcular simplemente evaluando 
\mathrm{f}
en   
x_0
.


Ejemplo


Como   
\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2
  es una función continua en todo 
\mathbb{R}
se tiene que


\lim_{x \to  5} \mathrm{f} \left( \,  x \, \right)  = \mathrm{f} \left( \,  5 \,
\right) = 25


Indeterminación del tipo 0/0


En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.



Por ejemplo, si existen los limites


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)

y


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0

entonces se puede calcular el límite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

dividiendo   
</p>
<pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>   entre   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
 \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

¿Pero que sucede cuando 
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
?


Pueden darse dos casos:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 .


En este último caso, de exisir el limite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

se ha de calcular de otra manera.


Procedimiento 1


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por   
x - x_0
, cuantas veces sea posible.


Ejemplo


Calculemos el limite


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

con


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Ambos polinomios, 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
, se anulan en   
x = 1
,   por lo tanto ambos son divisibles por   
x - 1
.


Si dividimos 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
por   
x - 1
  una vez y luego otra, nos queda que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.


Procedimiento 2


Independientemente de como sean 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
se puede utilizar la regla de L'Hôpital:


Si existe


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

ya sea   
x_0
  real, infinito o menos infinito, entonces 
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
\lim_{x     \to    x_0}     \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} 
</pre>
<p> donde   
\mathrm{f}^\prime 
  y   
\mathrm{g}^\prime 
  son las derivadas de 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
.


Ejemplo


Calculemos


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

Como la funcion seno y la funcion identidad   
\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)
  son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir   
x
  por cero en


\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

con lo que obtenemos la indeterminación   
\frac{0}{0}
.


Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en   
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
  obtenemos   
\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}
  que cuando 
x
tiende a 
0
tiende a 1.


Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua


\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1

   
 
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