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Indeterminaciones

De Wikillerato

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(Página nueva: %% {{{ =indeterminaciones ==Introducción== <br/> Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio. ...)
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-
 
==Introducción==
==Introducción==
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<br/>
+
Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son [[Continuidad de una función|continuas]] en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
-
Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
+
Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras
 +
funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división,
 +
multiplicación, composición, etc.
-
<br/>
+
Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales &nbsp;
-
 
+
-
Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales &nbsp;
+
<math>
<math>
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
</math>
</math>
&nbsp; , el coseno, el seno, etc.
&nbsp; , el coseno, el seno, etc.
-
 
-
<br/>
 
Si una función
Si una función
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
es continua en un punto, el limite de
+
es continua en &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0 \in \mathbb{R}
 +
</math>,
 +
&nbsp; el limite de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 31: Línea 31:
tiende a &nbsp;
tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
x_0 \in \mathbb{R}
+
x_0
</math>
</math>
&nbsp; se puede calcular simplemente evaluando
&nbsp; se puede calcular simplemente evaluando
Línea 42: Línea 42:
</math>.
</math>.
-
<br/>
 
-
===Ejemplo===
 
-
<br/>
+
===Ejemplo 0===
 +
 
 +
 
Como &nbsp;
Como &nbsp;
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</center>
</center>
-
<br/>
+
 
==Indeterminación del tipo 0/0==
==Indeterminación del tipo 0/0==
-
 
-
<br/>
 
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las [[Propiedades de los límites|propiedades de los limites]].
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las [[Propiedades de los límites|propiedades de los limites]].
-
<br/>
+
Por ejemplo, si existen los limites
-
 
+
<center>
-
 
+
-
Por ejemplo, si
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
</math>
</math>
 +
</center>
y
y
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{g}
+
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0
</math>
</math>
-
son continuas e&nbsp;
+
</center>
 +
entonces se puede calcular el límite
 +
<center>
<math>
<math>
-
x_0
+
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
 +
\, \right)}
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
</center>
-
y
+
dividiendo &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0
+
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; entre &nbsp;
-
entonces
+
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
 +
</math>:
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
-
\, \right)} = \frac{\mathrm{f}\left( \, x_0 \, \right)}{\mathrm{g}\left( \,
+
\, \right)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
-
x_0 \, \right)}
+
\right)}{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</math>
</math>
</center>
</center>
¿Pero que sucede cuando
¿Pero que sucede cuando
<math>
<math>
-
\mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) = 0
+
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
</math>?
</math>?
Línea 113: Línea 117:
<br/>
<br/>
-
#1. &nbsp; <math> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 </math>, &nbsp; o bien
+
#1. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 </math>, &nbsp; o bien
<br/>
<br/>
-
#2. &nbsp; <math> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 </math>.
+
#2. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 </math>.
<br/>
<br/>
-
En el primer caso, la función &nbsp;
+
En este último caso, de existir el limite
-
<math>
+
-
\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tendria una asintota vertical en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
x = x_0
+
-
</math>.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
En el segundo caso, se debe calcular
+
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 138: Línea 131:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
de otra manera.
+
se ha de calcular de otra manera.
<br/>
<br/>
Línea 156: Línea 149:
<math>
<math>
x - x_0
x - x_0
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; y se vuelve a calcular el limite por el procedimiento usual ( si ello es
+
cuantas veces sea posible.
-
posible ).
+
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
===Ejemplo 1===
<br/>
<br/>
Línea 172: Línea 164:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
entoncescon
+
con
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 216: Línea 208:
</math>
</math>
&nbsp;
&nbsp;
-
nos queda que
+
una vez y luego otra, nos queda que
<center>
<center>
<math>
<math>
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
-
\, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}
+
\, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
 +
\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} =
 +
\frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)}
 +
{\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} =
 +
\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
La división se puede hacer por la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]].
+
 
 +
Todas esas divisiones se puede hacer por la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]].
<br/>
<br/>
Línea 231: Línea 228:
<br/>
<br/>
-
Independientemente de como sean
+
Tanto si
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 239: Línea 236:
\mathrm{g}
\mathrm{g}
</math>
</math>
-
se puede utilizar la regla de L`H\^opital:
+
son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la '''''regla de L'Hôpital''''':
 +
 
 +
<br/>
 +
 
Si existe
Si existe
<center>
<center>
Línea 252: Línea 252:
</math>
</math>
&nbsp; real, infinito o menos infinito, entonces
&nbsp; real, infinito o menos infinito, entonces
 +
<center>
<math>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
Línea 277: Línea 278:
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo===
+
===Ejemplo 2===
<br/>
<br/>
Línea 284: Línea 285:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 298: Línea 299:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 305: Línea 306:
\frac{0}{0}
\frac{0}{0}
</math>.
</math>.
-
&nbsp;
+
 
-
Esto no significa que el limite de exista, de hecho si derivamos el numerador y
+
<br/>
 +
 
 +
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y
el denominador en &nbsp;
el denominador en &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}
+
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</math>
&nbsp; obtenemos &nbsp;
&nbsp; obtenemos &nbsp;
Línea 321: Línea 324:
tiende a
tiende a
<math>
<math>
-
\infty
+
0
</math>
</math>
tiende a 1.
tiende a 1.
Línea 327: Línea 330:
<br/>
<br/>
-
Por lo tanto, por la regla de L'H\^opital
+
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x} =
+
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1
</math>
</math>
Línea 338: Línea 341:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = \cos \left( \, 0 \, \right)
+
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
 +
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1
</math>
</math>
-
</center>er>er>
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 3===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y
 +
comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el
 +
procedimiento 1.
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} =
 +
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)}
 +
{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} =
 +
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Indeterminación del tipo infinito/infinito==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que queremos calcular el limite de
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
 +
\, \right)}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
y que &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Puede darse dos casos, o bien:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
#1. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R} </math>, &nbsp; o bien
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
#2. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty </math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En el primer caso
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
 +
\, \right)} = 0
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\infty}{\infty}
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando
 +
se llega a una indeterminacion del tipo &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\infty}{\infty}
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla
 +
[[Indeterminaciones#Procedimiento 2|regla de L'Hôpital]].
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Procedimiento 3===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si <math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
y
 +
<math>
 +
\mathrm{g}
 +
</math>
 +
son polinomios y &nbsp;
 +
<math>
 +
x_0
 +
</math>
 +
&nbsp; es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
#1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de <math> x </math> en el denominador y el numerador ( <math> x </math> elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
#2. se simplifican las fracciones de potencias de <math> x </math>, y
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
#3. se hace tender <math> x </math> a <math> \infty </math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Ejemplo 4===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
 +
\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} +
 +
\frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =
 +
\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 +
 +
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}
 +
\, \right)}{\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \, 1 +
 +
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Observese que tanto el denominador como el numerador de
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1}
 +
</math>
 +
</center>
 +
tienden a
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
cuando
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
tiende a
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
 +
\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{3x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{6x} = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Indeterminación del tipo 0 por infinito==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de
 +
los dos tipos vistos anteriormente ([[Indeterminaciones#Indeterminaciones del tipo 0/0|0/0]] y
 +
[[Indeterminaciones#Indeterminaciones del tipo infinito/infinito|infinito/infinito]]).
 +
 
 +
Si &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
y
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \infty
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces el limite
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
se puede reescribir de la siguiente manera:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}}
 +
</math>
 +
</center>
 +
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\infty}{\infty}
 +
</math>
 +
dado que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)} = \infty
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Alternativamente el limite
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
se puede poner como
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}}
 +
</math>
 +
</center>
 +
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{0}{0}
 +
</math>
 +
dado que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
-
%% }}}
+
[[Categoría:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.

Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales   
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
  , el coseno, el seno, etc.

Si una función 
\mathrm{f}
es continua en   
x_0 \in \mathbb{R}
,   el limite de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0 
  se puede calcular simplemente evaluando 
\mathrm{f}
en   
x_0
.


Ejemplo 0

Como   
\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2
  es una función continua en todo 
\mathbb{R}
se tiene que


\lim_{x \to  5} \mathrm{f} \left( \,  x \, \right)  = \mathrm{f} \left( \,  5 \,
\right) = 25


Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si existen los limites


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)

y


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0

entonces se puede calcular el límite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

dividiendo   
</p>
<pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) 
</pre>
<p>   entre   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
 \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

¿Pero que sucede cuando 
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
?


Pueden darse dos casos:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 .


En este último caso, de existir el limite


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

se ha de calcular de otra manera.


Procedimiento 1


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por   
x - x_0
, cuantas veces sea posible.


Ejemplo 1


Calculemos el limite


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}

con


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1
   \\
   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Ambos polinomios, 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
, se anulan en   
x = 1
,   por lo tanto ambos son divisibles por   
x - 1
.


Si dividimos 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
por   
x - 1
  una vez y luego otra, nos queda que


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
</pre>
<p>\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} =
\frac{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)}
{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = 
\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}

Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.


Procedimiento 2


Tanto si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:


Si existe


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)}
</pre>
<p>

ya sea   
x_0
  real, infinito o menos infinito, entonces


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} =
\lim_{x     \to    x_0}     \frac{\mathrm{f}^\prime    \left(     \,     x    \,
</p>
<pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} 
</pre>
<p>

donde   
\mathrm{f}^\prime 
  y   
\mathrm{g}^\prime 
  son las derivadas de 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
.


Ejemplo 2


Calculemos


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

Como la funcion seno y la funcion identidad   
\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)
  son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir   
x
  por cero en


\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}

con lo que obtenemos la indeterminación   
\frac{0}{0}
.


Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en   
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
  obtenemos   
\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}
  que cuando 
x
tiende a 
0
tiende a 1.


Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua


\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1


Ejemplo 3


Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.


\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} =
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)}
{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} = 
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}


Indeterminación del tipo infinito/infinito


Supongamos que queremos calcular el limite de


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} 
</pre>
<p>

y que   
</p>
<pre>   \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty 
</pre>
<p>.


Puede darse dos casos, o bien:


  1. 1.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R} ,   o bien


  1. 2.    \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty .


En el primer caso 
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
</p>
<pre>   \, \right)} = 0
</pre>
<p>.


En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
.


Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.


Procedimiento 3


Si 
\mathrm{f}
y 
\mathrm{g}
son polinomios y   
x_0
  es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:


  1. 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de  x en el denominador y el numerador (  x elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )


  1. 2. se simplifican las fracciones de potencias de  x , y


  1. 3. se hace tender  x a  \infty .


Ejemplo 4



\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x  \to \infty }  \frac{\frac{x^2}{x^3} -  \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} +
</p>
<pre> \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =
</pre>
<p>\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 +
</p>
<pre> \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 
</pre>
<p>


</p>
<pre>= \frac{\lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}
    \, \right)}{\lim_{x \to \infty } \left( \, 1 +
 \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0
</pre>
<p>

Observese que tanto el denominador como el numerador de


\frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1}

tienden a 
\infty 
cuando 
x
tiende a 
\infty
.


Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital


\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{3x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{6x} = 0


Indeterminación del tipo 0 por infinito


Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).

Si   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
  y   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \,  x \, \right) \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

se puede reescribir de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{g} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{\infty}{\infty}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)} = \infty



Alternativamente el limite


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

se puede poner como


\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}}

con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo   
\frac{0}{0}
dado que


\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = 0


   
 
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