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Funciones acotadas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (14:14 10 jul 2012) (editar) (deshacer)
(→Ejemplo)
 
(5 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
<br/>
<br/>
-
==Definición de dominio==
+
==Definición==
<br/>
<br/>
-
En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa
+
Se dice que un conjunto
-
función.
+
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
 +
número real
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
que es
 +
mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de
 +
<math>
 +
A
 +
</math>.
<br/>
<br/>
 +
 +
A este número real se le llama cota superior ( inferior ).
 +
Si
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
es una cota superior del conjunto
 +
<math>
 +
A
 +
</math>,
 +
entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
es tambien una cota superior ( inferior ) de
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
==Ejemplo==
==Ejemplo==
Línea 14: Línea 44:
<br/>
<br/>
-
Las funciones
+
El intervalo
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R
+
\left[ \, 2, \, 9 \, \right] \subset \mathbb{R}
</math>
</math>
-
 
+
</center>
-
<br/>
+
es un conjunto acotado superiormente porque
-
 
+
<center>
<math>
<math>
-
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}
+
9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
Tambien está acotado inferiormente porque
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R
+
x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]
</math>
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
<math>
+
==Definición==
-
x \longrightarrow \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.
+
<br/>
<br/>
-
Observese que, en ambos casos, la imagen de
+
Una función
<math>
<math>
-
x
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre
+
está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir,
 +
si existe un número
<math>
<math>
-
x
+
C
</math>
</math>
-
).
+
tal que
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Sin embargo, cuando nos dicen que la función es
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
+
C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x
</math>
</math>
-
</center>
+
en el dominio de
-
y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos están pidiendo es el
+
-
mayor dominio posible, el conjunto de todos los números reales
+
<math>
<math>
-
x
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
para los cuales existe
+
</center>
 +
Análogamente,
<math>
<math>
-
\frac{1}{x}
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, es decir, &nbsp;
+
está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir,
 +
si existe un número
<math>
<math>
-
\left\{
+
c
-
\, x \in \mathbb{R} \, \left| \, \exists \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
-
\, \right.
+
-
\right\}
+
</math>
</math>
-
,&nbsp; que en el ejemplo que estamos considerando es
+
&nbsp; tal que
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathbb{R} - \left\{ \, 0 \, \right\}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x
 +
</math>
 +
en el dominio de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
(Todos los números reales excepto el cero ).
+
 
 +
Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.
<br/>
<br/>
-
==Método para hallar el dominio==
+
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
-
Un procedimiento de obtención del dominio de una función
+
El recorrido de la función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
es quitar a
+
&nbsp; es el intervalo cerrado &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathbb{R}
+
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
 +
</math>.
 +
&nbsp; Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente,
 +
la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
todos los
+
está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
<math>
<math>
-
x
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
en los que la función no está definida.
+
está acotada.
<br/>
<br/>
-
En general, la función
+
==Propiedades==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Propiedad 1===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En la gráfica de
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
f
</math>
</math>
-
no está definida en
+
, el que
<math>
<math>
-
x
+
f
</math>
</math>
-
cuando al evaluar
+
esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
 +
paralela al eje
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
X
</math>
</math>
-
en
+
), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":
+
-
# 1. Divisón por cero.
+
<br/>
-
 
+
-
# 2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).
+
-
# 3. Raíz de orden par de un número negativo.
+
===Propiedad 2===
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
Una función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
con una asíntota vertical
 +
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
<br/>
<br/>
-
Veamos como podemos hallar el dominio de
+
Mas concretamente:
-
<center>
+
 
 +
# Si existe un número real
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x -
+
a
-
2}}
+
</math>,
 +
tal que &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; o &nbsp;
-
 
+
-
Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de
+
<math>
<math>
-
x
+
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
</math>
</math>
-
para los cuales no existe
+
, &nbsp; entonces
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
-
</math>.
+
</math>
 +
no está acotada superiormente.
-
<br/>
+
# Recíprocamente, si existe un número real
-
 
+
-
La raíz de un número negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos
+
-
del dominio aquellos valores de
+
<math>
<math>
-
x
+
a
 +
</math>,
 +
tal que &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
</math>
</math>
-
que sean solución de la inecuación
+
&nbsp; o &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
0 > \frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}
+
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
</math>
</math>
-
</center>
+
, &nbsp; entonces
-
La función
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
</center>
+
no está acotada inferiormente.
-
es negativa cuando &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
===Propiedad 3===
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\log \left( \, x \, \right)
+
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; o &nbsp;
<math>
<math>
-
x - 2
+
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )
+
NO está acotada superiormente.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\left\{
+
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
-
\begin{array}{l}
+
-
\log \left( \, x \, \right) > 0
+
-
\\
+
-
0 > x - 2
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; o &nbsp;
 +
<math>
 +
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
NO está acotada inferiormente.
-
o bien, cuando ( caso 2 )
+
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
 +
La función
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
-
\begin{array}{l}
+
-
0 > \log \left( \, x \, \right)
+
-
\\
+
-
x - 2 > 0
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
tiene una asíntota vertical de ecuación &nbsp;
-
Analicemos primero el caso 1.
+
<math>
 +
x = 0
 +
</math>.
 +
&nbsp; Por lo tanto, la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
no está acotada.
<br/>
<br/>
-
La solución de
+
Para averiguar si está acotada superior o inferiormente,
 +
calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\log \left( \, x \, \right) > 0
+
\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
es
+
y
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \in \left( \, 1, \, \infty \, \right)
+
\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
mientras que la solución de
+
El primero es &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
0 > x - 2
+
-\infty
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y el segundo es &nbsp;
-
es
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
+
\infty
-
</math>
+
</math>.
-
</center>
+
&nbsp; Por lo tanto, &nbsp;
-
 
+
-
Por lo tanto, el caso 1 se da cuando
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right) \cap \left( \, 1, \, \infty \,
+
\mathrm{f}
-
\right) = \left( \, 1, \, 2 \, \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; no está acotada ni superior, ni inferiormente.
<br/>
<br/>
-
Analicemos, a continuación, el caso 2.
+
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
-
La solución de
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
0 > \log \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
mientras que la solución de
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x - 2 > 0
+
\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty
-
</math>
+
-
</center>
+
-
es
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por lo tanto, el caso 2 se da cuando
+
Por lo tanto, &nbsp;
-
<center>
+
-
<math>
+
-
x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right) \cap \left( \, 0, \, 1 \, \right) =
+
-
\emptyset
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
Es decir, este caso nunca se da (
+
<math>
<math>
-
\emptyset =
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
</math>
</math>
-
conjunto vacio ).
+
&nbsp; no está acotada superiormente.
<br/>
<br/>
-
El dos tampoco está en el dominio de
+
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Máximos y mínimos==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Un conjunto de números reales acotado superiormente
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
A
</math>
</math>
-
porque cuando &nbsp;
+
tiene máximo si la menor de las cotas superiores de
<math>
<math>
-
x = 2
+
A
</math>
</math>
-
&nbsp; se tiene una división por 0 en
+
pertenece a
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}}
+
A
-
</math>
+
</math>. El máximo de
-
</center>
+
-
 
+
-
Concluimos así, que el dominio de
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
A
</math>
</math>
-
es
+
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) =
+
A
-
\left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)
+
</math>.
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
==Dominio y gráfica==
+
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
-
El conocer el dominio de una función
+
El intervalo &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
</math>
</math>
-
nos va a permitir identificar bandas o franjas verticales donde la gráfica de la
+
&nbsp; está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las
-
función no está ( ningún punto de la gráfica de
+
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
El intervalo &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
</math>
</math>
-
se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).
+
&nbsp; está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las
 +
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Máximos y mínimos absolutos de una función==
<br/>
<br/>
-
En el ejemplo anterior el dominio de
+
Una función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
es
+
se dice que alcanza el valor máximo en &nbsp;
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]
+
x_M
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y que dicho valor máximo es &nbsp;
-
La gráfica de
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
-
</math>
+
</math>,
-
podría tener algún punto en la recta vertical
+
&nbsp; si
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{r}
+
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \,
 +
\forall x
</math>
</math>
-
de ecuación &nbsp;
+
&nbsp; en el dominio de
<math>
<math>
-
x = 1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; pero no puede tener ningún punto, ni en la recta vertical
+
</center>
 +
 
 +
Recíprocamente,
<math>
<math>
-
\mathrm{s}
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
de ecuación &nbsp;
+
alcanza su valor mínimo en &nbsp;
<math>
<math>
-
x = 2
+
x_m
</math>
</math>
-
&nbsp; ni en ningún punto en la franja vertical delimitadas por las rectas
+
&nbsp; y su valor mínimo es &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{r}
+
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
-
</math>
+
</math>,
-
y
+
&nbsp; si
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{s}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \,
-
</math>.
+
\forall x
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Recorrido y gráfica==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Análogamente, el conocer el dominio de una función
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
</math>
</math>
-
nos va a permitir identificar bandas o franjas horizontales donde la gráfica de la
+
&nbsp; en el dominio de
-
función no está ( ningún punto de la gráfica de
+
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).
+
</center>
-
<br/>
+
Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo (
-
 
+
mínimo ) de su recorrido.
-
==Ejemplo==
+
<br/>
<br/>
-
El recorrido de la función
+
Si cuando
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
+
y_2 > y_1
</math>
</math>
</center>
</center>
-
es &nbsp;
+
decimos que el "punto &nbsp;
<math>
<math>
-
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
+
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
-
</math>,
+
</math>
-
&nbsp; lo cual significa que deberemos dibujar la gráfica en la banda horizontal
+
&nbsp; está mas alto que el punto&nbsp;
-
delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones &nbsp;
+
<math>
<math>
-
y = -1
+
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; e &nbsp;
+
", entonces el máximo absoluto de
<math>
<math>
-
y = 1
+
\mathrm{f}
-
</math>,
+
</math>
-
&nbsp; ya que ningún punto de la gráfica se encuentra fuera de esta banda horizontal.
+
correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.
 +
 
 +
&nbsp;
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición


Se dice que un conjunto A de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real C que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de A .


A este número real se le llama cota superior ( inferior ). Si C es una cota superior del conjunto A , entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que C es tambien una cota superior ( inferior ) de A

Ejemplo


El intervalo

\left[ \, 2, \, 9 \, \right] \subset \mathbb{R}

es un conjunto acotado superiormente porque

9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]

Tambien está acotado inferiormente porque

x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]


Definición


Una función \mathrm{f} está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir, si existe un número C tal que

C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x en el dominio de \mathrm{f}

Análogamente, \mathrm{f} está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir, si existe un número c   tal que

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x en el dominio de \mathrm{f}

Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.


Ejemplo


El recorrido de la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)   es el intervalo cerrado   \left[ \, -1, \, 1 \, \right] .   Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente, la función \mathrm{f} está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función </p> <pre>\mathrm{f} </pre> <p> está acotada.


Propiedades


Propiedad 1


En la gráfica de f , el que f esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje X ), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.


Propiedad 2


Una función \mathrm{f} con una asíntota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.


Mas concretamente:

  1. Si existe un número real

a , tal que   \lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty   o   \lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty ,   entonces \mathrm{f} no está acotada superiormente.

  1. Recíprocamente, si existe un número real

a , tal que   \lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty   o   \lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty ,   entonces \mathrm{f} no está acotada inferiormente.


Propiedad 3


Si   \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty   o   \lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty ,   entonces \mathrm{f} NO está acotada superiormente.


Si   \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty   o   \lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty ,   entonces \mathrm{f} NO está acotada inferiormente.


Ejemplo


La función

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}

tiene una asíntota vertical de ecuación   x = 0 .   Por lo tanto, la función \mathrm{f} no está acotada.


Para averiguar si está acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:

\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

y

\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

El primero es   -\infty   y el segundo es   \infty .   Por lo tanto,   \mathrm{f}   no está acotada ni superior, ni inferiormente.


Ejemplo


\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

Por lo tanto,   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2   no está acotada superiormente.


Ejemplo


Máximos y mínimos


Un conjunto de números reales acotado superiormente A tiene máximo si la menor de las cotas superiores de A pertenece a A . El máximo de A sería, de existir, la menor de las cotas superiores de A .


Ejemplo


El intervalo   \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)   está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.


Ejemplo


El intervalo   \left( \, -\infty, \, 2 \, \right]   está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.


Máximos y mínimos absolutos de una función


Una función \mathrm{f} se dice que alcanza el valor máximo en   x_M   y que dicho valor máximo es   \mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) ,   si

\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x   en el dominio de \mathrm{f}

Recíprocamente, \mathrm{f} alcanza su valor mínimo en   x_m   y su valor mínimo es   \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right) ,   si

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \, \forall x   en el dominio de \mathrm{f}

Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( mínimo ) de su recorrido.


Si cuando

y_2 > y_1

decimos que el "punto   \left( \, x_2, \, y_2 \, \right)   está mas alto que el punto  \left( \, x_1, \, y_1 \, \right) ", entonces el máximo absoluto de \mathrm{f} correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de \mathrm{f} correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.

 

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Funciones_acotadas.html"
   
 
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