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Funciones acotadas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
<br/>
<br/>
-
==Definición==
+
==Definición de dominio==
<br/>
<br/>
-
Se dice que un conjunto
+
En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa
-
<math>
+
función.
-
A
+
-
</math>
+
-
de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
+
-
número real
+
-
<math>
+
-
C
+
-
</math>
+
-
que es
+
-
mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>.
+
<br/>
<br/>
-
 
-
A este número real se le llama cota superior ( inferior ).
 
-
Si
 
-
<math>
 
-
C
 
-
</math>
 
-
es una cota superior del conjunto
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>,
 
-
entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que
 
-
<math>
 
-
C
 
-
</math>
 
-
es tambien una cota superior ( inferior ) de
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
==Ejemplo==
==Ejemplo==
Línea 44: Línea 14:
<br/>
<br/>
-
El intervalo
+
Las funciones
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left[ \, 2, \, 9 \, \right) \subset \mathbb{R}
+
\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R
</math>
</math>
-
</center>
+
 
-
es un conjunto acotado superiormente porque
+
<br/>
-
<center>
+
 
<math>
<math>
-
9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)
+
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Tambien está acotado inferiormente porque
+
 
 +
<br/>
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)
+
\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R
</math>
</math>
-
</center>
 
<br/>
<br/>
-
==Definición==
+
<math>
 +
x \longrightarrow \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.
<br/>
<br/>
-
Una función
+
Observese que, en ambos casos, la imagen de
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x
</math>
</math>
-
está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir,
+
se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre
-
si existe un número
+
<math>
<math>
-
C
+
x
</math>
</math>
-
tal que
+
).
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Sin embargo, cuando nos dicen que la función es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
</math>
</math>
-
en el dominio de
+
</center>
 +
y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos están pidiendo es el
 +
mayor dominio posible, el conjunto de todos los números reales
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x
</math>
</math>
-
</center>
+
para los cuales existe
-
Análogamente,
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\frac{1}{x}
</math>
</math>
-
está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir,
+
, es decir, &nbsp;
-
si existe un número
+
<math>
<math>
-
c
+
\left\{
 +
\, x \in \mathbb{R} \, \left| \, \exists \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
\, \right.
 +
\right\}
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que
+
,&nbsp; que en el ejemplo que estamos considerando es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x
+
\mathbb{R} - \left\{ \, 0 \, \right\}
-
</math>
+
-
en el dominio de
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
+
(Todos los números reales excepto el cero ).
-
Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.
+
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Método para hallar el dominio==
<br/>
<br/>
-
El recorrido de la función &nbsp;
+
Un procedimiento de obtención del dominio de una función
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es el intervalo cerrado &nbsp;
+
es quitar a
<math>
<math>
-
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
+
\mathbb{R}
-
</math>.
+
-
&nbsp; Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente,
+
-
la función
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
</math>
</math>
-
está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
+
todos los
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x
</math>
</math>
-
está acotada.
+
en los que la función no está definida.
<br/>
<br/>
-
==Propiedades==
+
En general, la función
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Propiedad 1===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
En la gráfica de
+
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, el que
+
no está definida en
<math>
<math>
-
f
+
x
</math>
</math>
-
esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
+
cuando al evaluar
-
paralela al eje
+
<math>
<math>
-
X
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
+
en
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":
-
<br/>
+
# 1. Divisón por cero.
 +
 
 +
# 2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).
-
===Propiedad 2===
+
# 3. Raíz de orden par de un número negativo.
<br/>
<br/>
-
Una función
+
==Ejemplo==
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
con una asíntota vertical
+
-
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
+
<br/>
<br/>
-
Mas concretamente:
+
Veamos como podemos hallar el dominio de
-
 
+
<center>
-
# Si existe un número real
+
<math>
<math>
-
a
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x -
-
</math>,
+
2}}
-
tal que &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
+
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de
<math>
<math>
-
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
+
x
</math>
</math>
-
, &nbsp; entonces
+
para los cuales no existe
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
</math>
+
</math>.
-
no está acotada superiormente.
+
-
# Reciprocamente, si existe un número real
+
<br/>
 +
 
 +
La raíz de un número negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos
 +
del dominio aquellos valores de
<math>
<math>
-
a
+
x
-
</math>,
+
-
tal que &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
+
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
que sean solución de la inecuación
 +
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
+
0 > \frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}
</math>
</math>
-
, &nbsp; entonces
+
</center>
 +
La función
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}
</math>
</math>
-
no está acotada inferiormente.
+
</center>
-
 
+
es negativa cuando &nbsp;
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Propiedad 3===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Si &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
+
\log \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty
+
x - 2
-
</math>,
+
-
&nbsp; entonces
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
</math>
</math>
-
NO está acotada superiormente.
+
&nbsp; tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )
<br/>
<br/>
-
Si &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
\log \left( \, x \, \right) > 0
 +
\\
 +
0 > x - 2
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
-
&nbsp; o &nbsp;
+
</center>
-
<math>
+
-
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty
+
-
</math>,
+
-
&nbsp; entonces
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
NO está acotada inferiormente.
+
-
<br/>
+
o bien, cuando ( caso 2 )
-
 
+
-
==Ejemplo==
+
<br/>
<br/>
-
La función
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
+
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
0 > \log \left( \, x \, \right)
 +
\\
 +
x - 2 > 0
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
-
tiene una asíntota vertical de ecuación &nbsp;
+
 
-
<math>
+
Analicemos primero el caso 1.
-
x = 0
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; Por lo tanto, la función
+
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
no está acotada.
+
<br/>
<br/>
-
Para averiguar si está acotada superior o inferiormente,
+
La solución de
-
calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\log \left( \, x \, \right) > 0
</math>
</math>
</center>
</center>
-
y
+
es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
x \in \left( \, 1, \, \infty \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
El primero es &nbsp;
+
mientras que la solución de
 +
<center>
<math>
<math>
-
-\infty
+
0 > x - 2
</math>
</math>
-
&nbsp; y el segundo es &nbsp;
+
</center>
 +
es
 +
<center>
<math>
<math>
-
\infty
+
x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
-
</math>.
+
</math>
-
&nbsp; Por lo tanto, &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
Por lo tanto, el caso 1 se da cuando
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right) \cap \left( \, 1, \, \infty \,
 +
\right) = \left( \, 1, \, 2 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; no está acotada ni superior, ni inferiormente.
+
</center>
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
Analicemos, a continuación, el caso 2.
<br/>
<br/>
 +
La solución de
 +
<center>
 +
<math>
 +
0 > \log \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
es
 +
<center>
 +
<math>
 +
x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
mientras que la solución de
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty
+
x - 2 > 0
 +
</math>
 +
</center>
 +
es
 +
<center>
 +
<math>
 +
x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por lo tanto, &nbsp;
+
Por lo tanto, el caso 2 se da cuando
 +
<center>
 +
<math>
 +
x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right) \cap \left( \, 0, \, 1 \, \right) =
 +
\emptyset
 +
</math>
 +
</center>
 +
Es decir, este caso nunca se da (
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
+
\emptyset =
</math>
</math>
-
&nbsp; no está acotada superiormente.
+
conjunto vacio ).
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
El dos tampoco está en el dominio de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Máximos y mínimos==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Un conjunto de números reales acotado superiormente
+
<math>
<math>
-
A
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene máximo si la menor de las cotas superiores de
+
porque cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
x = 2
</math>
</math>
-
pertenece a
+
&nbsp; se tiene una división por 0 en
 +
<center>
<math>
<math>
-
A
+
\sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}}
-
</math>. El máximo de
+
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
Concluimos así, que el dominio de
<math>
<math>
-
A
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de
+
es
 +
<center>
<math>
<math>
-
A
+
\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) =
-
</math>.
+
\left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Dominio y gráfica==
<br/>
<br/>
-
El intervalo &nbsp;
+
El conocer el dominio de una función
<math>
<math>
-
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las
+
nos va a permitir identificar bandas o franjas verticales donde la gráfica de la
-
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
+
función no está ( ningún punto de la gráfica de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Ejemplo==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El intervalo &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las
+
se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).
-
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
+
<br/>
<br/>
-
==Máximos y mínimos absolutos de una función==
+
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
-
Una función
+
En el ejemplo anterior el dominio de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
se dice que alcanza el valor máximo en &nbsp;
+
es
 +
<center>
<math>
<math>
-
x_M
+
\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]
</math>
</math>
-
&nbsp; y que dicho valor máximo es &nbsp;
+
</center>
 +
La gráfica de
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
+
\mathrm{f}
-
</math>,
+
</math>
-
&nbsp; si
+
podría tener algún punto en la recta vertical
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \,
+
\mathrm{r}
-
\forall x
+
</math>
</math>
-
&nbsp; en el dominio de
+
de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
x = 1
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; pero no puede tener ningún punto, ni en la recta vertical
-
 
+
-
Reciprocamente,
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{s}
</math>
</math>
-
alcanza su valor mínimo en &nbsp;
+
de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
-
x_m
+
x = 2
</math>
</math>
-
&nbsp; y su valor mínimo es &nbsp;
+
&nbsp; ni en ningún punto en la franja vertical delimitadas por las rectas
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
+
\mathrm{r}
-
</math>,
+
</math>
-
&nbsp; si
+
y
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \,
+
\mathrm{s}
-
\forall x
+
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Recorrido y gráfica==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Análogamente, el conocer el dominio de una función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el dominio de
+
nos va a permitir identificar bandas o franjas horizontales donde la gráfica de la
 +
función no está ( ningún punto de la gráfica de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
</center>
+
se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).
-
Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo (
+
<br/>
-
mínimo ) de su recorrido.
+
 
 +
==Ejemplo==
<br/>
<br/>
-
Si cuando
+
El recorrido de la función
<center>
<center>
<math>
<math>
-
y_2 > y_1
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
decimos que el "punto &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
-
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
+
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; está mas alto que el punto&nbsp;
+
&nbsp; lo cual significa que deberemos dibujar la gráfica en la banda horizontal
 +
delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones &nbsp;
<math>
<math>
-
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
+
y = -1
</math>
</math>
-
", entonces el máximo absoluto de
+
&nbsp; e &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
y = 1
-
</math>
+
</math>,
-
correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de
+
&nbsp; ya que ningún punto de la gráfica se encuentra fuera de esta banda horizontal.
-
<math>
+
-
\mathrm{f}
+
-
</math>
+
-
correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.
+
-
 
+
-
&nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 10:03 1 ago 2010


Tabla de contenidos

Definición de dominio


En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa función.


Ejemplo


Las funciones

\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R


x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}


\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R


x \longrightarrow \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}

son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.


Observese que, en ambos casos, la imagen de x se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre x ).


Sin embargo, cuando nos dicen que la función es

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}

y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos están pidiendo es el mayor dominio posible, el conjunto de todos los números reales x para los cuales existe \frac{1}{x} , es decir,   \left\{ </p> <pre> \, x \in \mathbb{R} \, \left| \, \exists \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \right. </pre> <p>\right\} ,  que en el ejemplo que estamos considerando es

\mathbb{R} - \left\{ \, 0 \, \right\}

(Todos los números reales excepto el cero ).


Método para hallar el dominio


Un procedimiento de obtención del dominio de una función \mathrm{f} es quitar a \mathbb{R} todos los x en los que la función no está definida.


En general, la función \mathrm{f} no está definida en x cuando al evaluar \mathrm{f} en x nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":

  1. 1. Divisón por cero.
  1. 2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).
  1. 3. Raíz de orden par de un número negativo.


Ejemplo


Veamos como podemos hallar el dominio de

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - </p> <pre> 2}} </pre> <p>

Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de x para los cuales no existe \mathrm{f} \left( \, x \, \right) .


La raíz de un número negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos del dominio aquellos valores de x que sean solución de la inecuación

0 > \frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}

La función

\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}

es negativa cuando   \log \left( \, x \, \right)   y   x - 2   tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )


\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} \log \left( \, x \, \right) > 0 \\ 0 > x - 2 \end{array} </pre> <p>\right.

o bien, cuando ( caso 2 )


\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 > \log \left( \, x \, \right) \\ x - 2 > 0 \end{array} </pre> <p>\right.

Analicemos primero el caso 1.


La solución de

\log \left( \, x \, \right) > 0

es

x \in \left( \, 1, \, \infty \, \right)

mientras que la solución de

0 > x - 2

es

x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)

Por lo tanto, el caso 1 se da cuando

x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right) \cap \left( \, 1, \, \infty \, \right) = \left( \, 1, \, 2 \, \right)


Analicemos, a continuación, el caso 2.


La solución de

0 > \log \left( \, x \, \right)

es

x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)

mientras que la solución de

x - 2 > 0

es

x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right)

Por lo tanto, el caso 2 se da cuando

x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right) \cap \left( \, 0, \, 1 \, \right) = \emptyset

Es decir, este caso nunca se da ( \emptyset = conjunto vacio ).


El dos tampoco está en el dominio de \mathrm{f} porque cuando   x = 2   se tiene una división por 0 en

\sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}}

Concluimos así, que el dominio de \mathrm{f} es

\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) = \left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)


Dominio y gráfica


El conocer el dominio de una función \mathrm{f} nos va a permitir identificar bandas o franjas verticales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de \mathrm{f} se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).


Ejemplo


En el ejemplo anterior el dominio de \mathrm{f} es

\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]

La gráfica de \mathrm{f} podría tener algún punto en la recta vertical \mathrm{r} de ecuación   x = 1   pero no puede tener ningún punto, ni en la recta vertical \mathrm{s} de ecuación   x = 2   ni en ningún punto en la franja vertical delimitadas por las rectas \mathrm{r} y \mathrm{s} .


Recorrido y gráfica


Análogamente, el conocer el dominio de una función \mathrm{f} nos va a permitir identificar bandas o franjas horizontales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de \mathrm{f} se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).


Ejemplo


El recorrido de la función

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)

es   \left[ \, -1, \, 1 \, \right] ,   lo cual significa que deberemos dibujar la gráfica en la banda horizontal delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones   y = -1   e   y = 1 ,   ya que ningún punto de la gráfica se encuentra fuera de esta banda horizontal.

Obtenido de "http://www.wikillerato.org/Funciones_acotadas.html"
   
 
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