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Energía de un oscilador armónico

De Wikillerato

Cuando deformamos el resorte una longitud A con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será F = - k A. Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.

La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:

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Donde \theta es el ángulo formado por F e \Delta (x -x_0), que en nuestro caso, dado que la F y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es  \pi , y como cos \pi = -1. Como por otra parte el valor máximo de \Delta (x -x_0) es A, la ecuación de la energía del oscilador será:  W = - FA

La fuerza es variable, y varía entre los valores  -k A y  0 . Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y mínimo,  0 .  F = \frac{- kA +0}{2} = \frac {-k A}{2}

La energía máxima del resorte será:

 W = - \frac{-k A}{2}\ A  = \frac{1}{2}\ k A^2

Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.

Cuando estiramos el resorte una longitud A y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de v>0 a v<0 y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.

La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición x en la cual llevará una velocidad v, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

De donde obtenemos que [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.

   
 
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