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Energía de un oscilador armónico

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 3: Línea 3:
La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:
La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:
-
<math> W =\vec F \cdot \vector \Delta (x –x_0) = F \Delta (x –x_0) cos \theta </math>
+
<math> W =\vec F \cdot \vector \Delta (x-x_0) = F \Delta (x-x_0) cos \theta </math>
Donde  es el ángulo formado por F e  (x –x_0), que en nuestro caso, dado que la F y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es , y como cos = -1. Como por otra parte el valor máximo de  (x –x_0) es A, la ecuación de la energía del oscilador será:
Donde  es el ángulo formado por F e  (x –x_0), que en nuestro caso, dado que la F y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es , y como cos = -1. Como por otra parte el valor máximo de  (x –x_0) es A, la ecuación de la energía del oscilador será:
<math> W = - FA </math>
<math> W = - FA </math>
-
La fuerza es variable, y varía entre los valores -k A y 0. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo – k A y mínimo, 0.
+
La fuerza es variable, y varía entre los valores <math>-k A</math> y <math>0</math>. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo<math> – k A</math> y mínimo, <math>0</math>.
<math> F = frac{- kA +0}{2}\= frac {-k A}{2}\</math>
<math> F = frac{- kA +0}{2}\= frac {-k A}{2}\</math>
La energía máxima del resorte será
La energía máxima del resorte será
-
<math> W = - frac{-k A}{2}\. A \ = frac{1}{2}\ k A^2\</math>
+
<math> W = - \frac{-k A}{2}\ A = \frac{1}{2}\ k A^2\</math>
Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.
Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.

Revisión de 10:54 17 sep 2007

Cuando deformamos el resorte una longitud A con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será F = - k A. Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.

La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Donde  es el ángulo formado por F e  (x –x_0), que en nuestro caso, dado que la F y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es , y como cos = -1. Como por otra parte el valor máximo de  (x –x_0) es A, la ecuación de la energía del oscilador será:  W = - FA

La fuerza es variable, y varía entre los valores [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y mínimo, [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]. [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

La energía máxima del resorte será

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.

Cuando estiramos el resorte una longitud A y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de v>0 a v<0 y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.

La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición x en la cual llevará una velocidad v, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

De donde obtenemos que [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.

   
 
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