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El teorema de Euclides

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera pro...)
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Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
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Ya vimos el '''teorema de Euclides''', considerando su enunciados como teoremas de la '''altura''' y del '''cateto''', en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.
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===División de un segmento en partes proporcionales===
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Ahora vamos a ver su relación con la '''tercera proporcional'''. Si consideramos que:
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Para dividir un segmento '''AD ''' en partes proporcionales a las partes '''A’B’, B’C’ y C’D’ ''' dadas, trazamos una recta que pase por '''A''' definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo '''D’ ''' trazamos la recta '''DD’ '''. Trazamos paralelas a '''DD’ ''' por los puntos '''B’''' y '''C’ '''.
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<math>\frac{a}{x}=\frac{x}{b}</math>
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Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos '''B''' y '''C'''.
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vemos que el término intermedio, '''x''', es media proporcional entre '''a''' y '''b''', pues:
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Por el teorema de Tales, se cumplirá que <math>\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'}</math>.
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<math>x^2 = ab</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 3.gif]]
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Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en '''Euclides''', tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.
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===División de un segmento en partes iguales. ===
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=====Aplicando el teorema de la altura=====
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Para dividir un segmento '''AB''' dado en '''n''' partes iguales, trazamos una recta que pase por '''A'''.
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Dibujamos el segmento '''BC= a+b''', como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro '''BC'''. Por el extremo común de los segmentos, '''H''', dibujamos la perpendicular a '''BC''' que corta al arco en '''A'''.
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Situamos sobre ella '''n''' partes iguales, que numeramos. En este caso '''n=9'''. Dibujamos la recta '''9B''' y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.
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'''AH''' es la '''altura''' de '''ABC''' y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: '''a y b''', como ya vimos en el capítulo 2.
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Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre '''AB''' son iguales.
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<math>AH = \sqrt{ab}</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 4.gif]]
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 13.gif]]
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===Demostración del teorema de la bisectriz===
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=====Aplicando el teorema del cateto=====
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La bisectriz del ángulo '''BAC''' de un triángulo '''ABC''' divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.
+
Dibujamos el segmento '''BC=b''' y '''BH=a''', superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro '''BC'''. La perpendicular a '''BC''' desde '''H''' corta al arco en '''A'''.
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Consideramos el triángulo '''ABC''' y su bisectriz '''AD'''.
+
El '''cateto AB''' es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, '''a''' , y de la hipotenusa, '''b''', como ya vimos en el capítulo 2.
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Según el teorema: \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
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<math>AB = \sqrt{ab}</math>
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Vamos a comprobarlo:
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 14.gif]]
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Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
 
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Por el teorema de Tales, se cumple que: \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE'''}
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====Aplicaciones al cálculo gráfico====
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Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
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Para resolver estos problemas debemos definir la unidad que consideramos.
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Como '''BAD = DAC''' tenemos que '''AEC = ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC = AE'''.
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=====División de dos segmentos: c=a/b=====
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Dados los segmentos '''a''' y '''b''' hallamos un tercer segmento c que cumpla: '''c=a/b''', siendo la unidad el centímetro.
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Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en '''O'''. Sobre una de ellas llevamos '''ON=a''' y sobre la otra '''OM=b y MP=1cm''' (segmento unidad), como vemos en la figura. Dibujamos '''MN''' y su paralela por '''P, PQ'''.
-
Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que '''\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC'''}
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<math>NQ=c</math>
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Vemos que se cumple:
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 5.gif]]
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<math>c=\frac{a}{b}</math> pues:
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<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{1}</math>
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El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior '''MAC. '''
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 15.gif]]
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 6.gif]]
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=====Producto de dos segmentos: c=ab=====
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===Cuarta proporcional de tres segmentos===
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Dados los segmentos '''a''' y '''b''' hallamos un tercer segmento c que cumpla: '''c=ab''', siendo la unidad el centímetro.
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Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en '''O'''. Sobre una de ellas llevamos '''ON=a''' y sobre la otra '''OM=1cm''' (segmento unidad) y '''MP=b''', como vemos en la figura. Dibujamos '''MN''' y su paralela por '''P, PQ'''.
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<math>NQ=c</math>
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Dados tres segmentos '''a, b y c''', se llama magnitud '''cuarta proporcional''' de ellos a un segmento '''d''' que verifica: '''a/b=c/d'''.
+
Vemos que se cumple:
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''c''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
+
<math>c=ab</math>
-
Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''c'''. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: '''a/b=c/d'''
+
pues:
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 7.gif]]
+
<math>\frac{a}{1}=\frac{c}{b}</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 16.gif]]
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===Tercera proporcional de dos segmentos===
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=====Cuadrado de un segmento: b=a²=====
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Dado un segmento '''a''' hallamos un segmento '''b''' que cumpla <math>b=a^2</math>, siendo la unidad el centímetro.
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Dados dos segmentos '''a''' y '''b''', se llama magnitud '''tercera proporcional''' de ellos a un segmento c que verifica: '''a/b=b/c'''.
+
Esta construcción una variante de la del producto de un segmento.
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Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
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Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en '''O'''. Sobre una de ellas llevamos '''ON=a''' y sobre la otra '''OM=1cm''' (segmento unidad) y '''MP=a''', como vemos en la figura. Dibujamos '''MN''' y su paralela por '''P, PQ'''.
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<math>NQ=b</math>
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''b''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
+
Vemos que se cumple:
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Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''b'''. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: '''a/b=b/c'''
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<math>b=a^2</math> ,pues:
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 8.gif]]
 
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===La proporción áurea===
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<math>\frac{a}{1} = \frac{b}{a}</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 17.gif]]
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Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:
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=====Raíz cuadrada de un segmento: b=√a=====
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Dado un segmento '''a''' hallamos un segmento '''b''' que cumpla <math>b= \sqrt{a}</math>, siendo la unidad el centímetro
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Aplicamos el teorema de la '''altura''':
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Dibujamos el segmento '''BC''', siendo '''BH = 1cm''' (segmento unidad) y '''HC=a'''.
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Trazamos la semicircunferencia de diámetro '''BC'''. La perpendicular a '''BC''' por '''H''' corta al arco en '''A'''.
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<math>AH =b = \sqrt{a}</math>
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pues '''b''' es media proporcional de '''a''' y de '''la unidad'''.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 18.gif]]
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Esta construcción también se hace aplicando el teorema del '''cateto''', como puede verse en la figura.
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En este caso se dibuja el segmento '''BH=1cm''' y el segmento '''BC=a'''.
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Dibujamos la circunferencia de diámetro '''BC'''. Trazamos la perpendicular a '''BC''' desde '''H'''. Esta recta corta a la circunferencia en '''A'''.
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La magnitud solución es <math>AB = \sqrt{a}</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 19.gif]]
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math>
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====Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides====
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Aplicamos el teorema de la altura:
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Dibujamos el segmento '''BH = 1cm''' (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene.
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Trazamos la perpendicular a '''BH''' por '''H''' y llevamos la magnitud '''a''' sobre ella:
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<math>AH = a</math>
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Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por '''A''' y '''B''' y tiene el centro en la recta definida por '''BH'''. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de '''AB''' con dicha recta. El arco corta a la recta en '''C'''.
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<math>HC= b = a^2</math>, pues <math>AH=a</math> es media proporcional de <math>b=a^2</math> y de la '''unidad'''.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 20.gif]]
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Esta construcción también se hace aplicando el teorema del '''cateto''', como puede verse en la figura.
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En este caso se dibuja el segmento '''BH=1cm''' y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde '''H''' y, con centro en '''B''' y radio '''a''' se traza el arco que la corta en '''A'''.
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Dibujamos la circunferencia que pasa por '''A''' y '''B''' y tiene el centro en la recta '''BH''': trazamos la mediatriz de '''AB''' que corta a dicha recta en su centro.
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'''BC''' es la magnitud solución: <math>BC=a^2</math>
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<math>\Phi = 1,...........= \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math> es el número de oro.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 21.gif]]
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Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de '''rectángulo de oro'''. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de <math>\Phi</math> en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.
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También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:
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<math>\frac{d}{l} = \Phi</math>
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Vamos a comprobar que
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1+ \sqrt{5})}{2}</math>
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Operamos:
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<math>(a+b) \cdot b = a^2</math>
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<math>ab + b2 = a^2</math>
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<math>a^2 – ab – b^2 = 0</math>
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Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:
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<math>a = \frac{b + \sqrt{(b^2 + 4b^2)} }{2} = b \frac{ (1 + \sqrt{5})}{2}</math>
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<math> \frac{a}{b} = \Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}</math>
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Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:
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====Cuando el dato es a====
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Dibujamos un cuadrado de lado '''a''' y la mediatriz de dicho lado. Con centro en '''N''', punto medio de '''a''', y radio '''NM''', diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en '''P''' a la prolongación de '''a''', definiendo el segmento '''b'''. Se cumple que <math>\frac{a}{b} = \Phi</math>
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Vamos a comprobarlo:
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Como <math>MN = NP</math>, pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:
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Consideramos el triángulo '''MNQ''', por Pitágoras:
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<math>MN = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = {\frac{a\sqrt{5}}{2}</math>
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En nuestro dibujo:
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<math>NP = \frac{a}{2} +b</math>
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Lo aplicamos en la igualdad anterior:
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<math>\frac{a}{2} + b = \frac{a \sqrt {5}}{2}</math>
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<math>b = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt {5} -1}{2}</math>
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luego:
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<math>a = \frac{2b}{\sqrt {5} -1}</math>
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<math>\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt {5} -1} = \frac{2 (\sqrt {5} +1)}{(\sqrt {5} +1) (\sqrt {5} - 1)} = \frac{2 (1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} = \Phi</math>
+
-
 
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 9.gif]]
+
-
 
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-
====Cuando el dato es a+b====
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-
 
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Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea '''MN= a+b'''. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud '''MN/2''' y dibujamos el triángulo rectángulo '''MNP'''. Con centro en '''P''' y radio '''PN''' trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto '''Q'''. Con centro en A trazamos un arco de radio '''AQ''' que corta a '''MN''' en el punto '''R''', definiendo los segmentos '''a''' y '''b'''.
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Se verifica que: <math>\frac{a}{b} = \Phi</math>
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Vamos a comprobarlo:
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<math>MP = a + \frac{a+b}{2}</math>, ya que
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<math>MQ =a</math> y <math>PQ = \frac{a+b}{2}</math>
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Considerando el triángulo '''MNP''', por Pitágoras:
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<math>MP^2 = (a+b)^2 + \left (\frac{a+b}{2} \right )^2 = \frac{5 (a+b)^2} {4}</math>, luego:
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<math>MP = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}</math>
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-
 
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<math>MP = a + \frac{a+b}{2} = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}</math>
+
-
 
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<math>a = (a+b) \frac{\sqrt{5} -1}{2}</math>
+
-
 
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-
<math>\frac{(a+b)}{a} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2 (\sqrt{5}+1) }{ (\sqrt{5}+1) (\sqrt{5}-1)} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}= \Phi</math>
+
-
 
+
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 10.gif]]
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-
====Los rectángulos de oro====
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Si el dato es el lado menor '''a''' usamos la primera construcción de segmentación áurea.
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+
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 11.gif]]
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-
Si el dato es el lado mayor, '''a+b''', utilizamos la segunda.
+
-
 
+
-
[[Imagen:DibujoTecnico I-5 12.gif]]
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Revisión de 15:06 27 ene 2009

Ya vimos el teorema de Euclides, considerando su enunciados como teoremas de la altura y del cateto, en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.

Ahora vamos a ver su relación con la tercera proporcional. Si consideramos que:

\frac{a}{x}=\frac{x}{b}

vemos que el término intermedio, x, es media proporcional entre a y b, pues:

x^2 = ab

Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en Euclides, tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.

Tabla de contenidos

Aplicando el teorema de la altura

Dibujamos el segmento BC= a+b, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. Por el extremo común de los segmentos, H, dibujamos la perpendicular a BC que corta al arco en A. AH es la altura de ABC y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: a y b, como ya vimos en el capítulo 2.

AH = \sqrt{ab}

Imagen:DibujoTecnico I-5 13.gif

Aplicando el teorema del cateto

Dibujamos el segmento BC=b y BH=a, superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC desde H corta al arco en A.

El cateto AB es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, a , y de la hipotenusa, b, como ya vimos en el capítulo 2.

AB = \sqrt{ab}

Imagen:DibujoTecnico I-5 14.gif


Aplicaciones al cálculo gráfico

Para resolver estos problemas debemos definir la unidad que consideramos.


División de dos segmentos: c=a/b

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=a/b, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=b y MP=1cm (segmento unidad), como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

NQ=c

Vemos que se cumple:

c=\frac{a}{b} pues:

\frac{a}{b}=\frac{c}{1}

Imagen:DibujoTecnico I-5 15.gif

Producto de dos segmentos: c=ab

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=ab, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=b, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

NQ=c

Vemos que se cumple:

c=ab

pues:

\frac{a}{1}=\frac{c}{b}

Imagen:DibujoTecnico I-5 16.gif

Cuadrado de un segmento: b=a²

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla b=a^2, siendo la unidad el centímetro.

Esta construcción una variante de la del producto de un segmento.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=a, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

NQ=b

Vemos que se cumple:

b=a^2 ,pues:


\frac{a}{1} = \frac{b}{a}

Imagen:DibujoTecnico I-5 17.gif

Raíz cuadrada de un segmento: b=√a

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla b= \sqrt{a}, siendo la unidad el centímetro

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a.

Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A.

AH =b = \sqrt{a}

pues b es media proporcional de a y de la unidad.

Imagen:DibujoTecnico I-5 18.gif

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura.

En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a.

Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H. Esta recta corta a la circunferencia en A.

La magnitud solución es AB = \sqrt{a}

Imagen:DibujoTecnico I-5 19.gif

Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BH = 1cm (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene.

Trazamos la perpendicular a BH por H y llevamos la magnitud a sobre ella:

AH = a

Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta definida por BH. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de AB con dicha recta. El arco corta a la recta en C.

HC= b = a^2, pues AH=a es media proporcional de b=a^2 y de la unidad.

Imagen:DibujoTecnico I-5 20.gif

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde H y, con centro en B y radio a se traza el arco que la corta en A.

Dibujamos la circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta BH: trazamos la mediatriz de AB que corta a dicha recta en su centro.

BC es la magnitud solución: BC=a^2

Imagen:DibujoTecnico I-5 21.gif

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