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Ecuaciones del plano

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

Introducción


Un plano   
\pi
  queda determinado cuando se conoce un punto   
P
  del mismo y dos vectores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.


Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.


Ecuación en forma vectorial


El plano   
\pi
  que contiene al punto   
P_0 \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, x_0, \, y_0, \, z_0 \,
</pre>
<p>\right)
  y tiene como vectores directores los vectores   
\vec{\mathbf{u}}
  y   
\vec{\mathbf{v}}
  es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:



\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


con   
\lambda, \, \mu \in R 
 


Teniendo en cuenta que   
P \, = \, P_0 \, + \, \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}
, resulta:



P \, = \, P_0 \, + \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.


Imagen:plano.gif


Ecuación en forma paramétrica


Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:



\pi: \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x $ \, = \, x_0 \, + \, \mu v_x \, + \, \lambda u_x
   \\
   y $ \, = \, y_0 \, + \, \mu v_y \, + \, \lambda u_y
   \\
   z $ \, = \, z_0 \, + \, \mu v_z \, + \, \lambda u_z
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.


Ecuación en forma general


Como



P \, - \, P_0 \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


en el determinante


\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, - \, x_0 & u_x & v_x
   \\
   y \, - \, y_0 & u_y & v_y
   \\
   z \, - \, z_0 & u_z & v_z
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right|


la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0, nos queda un ecuación de la forma en que Hernan Fuentes se mete un dedo en el poto:



\pi: \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0


que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. (   
a, \, b, \, c, \, d
  son numeros reales ).


Ecuación normal


Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.


Sea   
P_0 \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, x_0, \, y_0, \, z_0 \,
</pre>
<p>\right)
  un punto dado del plano   
\pi
  y sea   
\vec{\mathbf{n}} \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b, \, c \,
</pre>
<p>\right)
  un vector normal a   
\pi
. Entonces, para cualquier punto   
P \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, x, \,y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
  del plano   
\pi
, el vector   
\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}
  es perpendicular a   
\vec{\mathbf{n}}
, de manera que



\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, 0


expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:



\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, 
a \cdot
\left(
</p>
<pre> \, x \, - \, x_0 \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, b \cdot
\left(
</p>
<pre> \, y \, - \, y_0 \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, c \cdot
\left(
</p>
<pre> \, z \, - \, z_0 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, 0 \, \Rightarrow \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0
</pre>
<p>


donde   
d \, = \, -ax_0 \, - \, by_0 \, - \, cz_0
.


Ejemplo


Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:



P_0 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 0, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
, \, P_1 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\quad \mathrm{y} \quad P_2 \, = \, 
\left(
</p>
<pre> \, 0, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)


Tanto



\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, P_1 \, - \, P_0


como



\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, P_2 \, - \, P_0


son vectores directores del plano   
\pi
, de manera que



P \, = \, P_0 \, + \, \mu \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1}


, es decir



\left(
</p>
<pre>  \, x, \, y, \, z \,
\right)
\, = \,
\left(
   \, 1, \, 0, \, 0 \,
\right)
\, + \, \mu
\left(
  \, -1, \, 0, \, 1 \, 
\right)
 \, + \, \lambda
\left(
  \, -1, \, 1, \, 0 \, 
\right)
</pre>
<p>


es la ecuación vectorial del plano   
\pi
. De la cual se deduce la ecuación de   
\pi
  en forma paramétrica:



\pi: \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x & = & 1 \, - \, \mu \, - \, \lambda 
   \\
   y &= & \lambda 
   \\
   z & = & \mu 
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Como   
\left(
</p>
<pre> \, x \, - \, 1, \, y, \, z \,
</pre>
<p>\right)
  es una combinación lineal de   
\left(
</p>
<pre> \, -1, \, 1, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
  y de   
\left(
</p>
<pre> \, -1, \, 0, \, 1 \,
</pre>
<p>\right)
  se ha de tener que



\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   x \, - \, 1 & -1 & -1
   \\
   y & 1 & 0
   \\
   z  & 0 & 1
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\, = \, 0


de lo que se deduce la ecuación de   
\pi
  en forma general, cartesiana o implícita:



x \, + \, y \, + \, z \, - \, 1 \, = \, 0


   
 
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