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Ecuaciones de la recta en el espacio

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Introducción


Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto   
P
  y un vector no nulo   
\vec {\mathbf{v}}
  que se llama vector director o direccional de la recta.

Estudiamos a continuacion las diferentes formas que puede adoptar la ecuacion de una recta.


Ecuacion en forma vectorial


La recta que pasa por el punto   
P_0 =
\left(
</p>
<pre>\, x_0, \, y_0, \, z_0 \, 
</pre>
<p>\right)
  y tiene por vector director   
\vec {\mathbf{v}} =
\left(
</p>
<pre>\, v_x, \, v_y, \, v_z \, 
</pre>
<p>\right)
  es el conjunto de puntos   
P
  del espacio que verifican la relacion vectorial   
\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} = \lambda \vec {\mathbf{v}}
  con   
\lambda \in R


Imagen:recta.png


Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:



\stackrel{\longrightarrow}{OP} \, \, = \, \, \stackrel{\longrightarrow}{OP_0} +
\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}


Si identificamos el punto   
P
  con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto   
P,
    
\stackrel{\longrightarrow}{OP}
,   se tiene que   
P = P_0 + \lambda \cdot \vec{\mathbf{v}}


que se denomina ecuación vectorial de la recta.


Ecuación en forma paramétrica


Desarrollando la ecuación vectorial anterior expresada en coordenadas, tenemos lo siguiente:



</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
\right)
\, = \,
\left(
  \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, 
\right)
\, + \,
\left(
  \, \lambda v_x, \, \lambda v_y, \, \lambda v_z  \,
\right)
\, = \,
\left(
  \, x_0 \, + \, \lambda v_x, \, y_0 \, + \, \lambda v_y, \, z_0 \, + \, \lambda v_z \, 
\right)


Igualando componentes resulta:



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x & = & x_0 \, + \, \lambda v_x
   \\
   y & = & y_0 \, + \, \lambda v_y
   \\
   z & = & z_0 \, + \, \lambda v_z
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma paramétrica o ecuaciones paramétricas de la recta.


Ecuación en forma continua


Si, en las ecuaciones paramétricas,   
v_x
,   
v_y
  y   
v_z
  son distintos de cero, se puede despejar en cada una de ellas el parametro   
\lambda



\lambda \, = \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x}; \qquad \lambda \, = \, \frac{y \, - \,
</p>
<pre> y_0}{v_y}; \qquad \lambda \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}
</pre>
<p>


Igualando las expresiones obtenidas resulta:



r: \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \,
\frac{z \, - \, z_0}{v_z}


que es la ecuación de la recta en forma continua.


Ecuación en forma cartesiana o implícita


A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos ecuaciones siguientes:



\frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y}



\frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}


que se pueden reescribir de la forma:



r: \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{c}
   a \cdot x \, + \, b \cdot y \, + \, c \cdot z \, + \, d \, = \, 0
   \\
   a^\prime \cdot x \, + \, b^\prime \cdot y \, + \, c^\prime \cdot z \, + \, d^\prime \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta.


Ejemplo


Determinemos las ecuaciones de la recta   
r
  que pasa por los puntos:


P \, = \, 
\left(
</p>
<pre>  \, 1, \, 2, \, 3 \,
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathbf{y} \qquad
Q \, = \, 
\left(
</p>
<pre>  \, -1, \, -2, \, -3 \,
</pre>
<p>\right)


Un vector director de   
r
  es, por ejemplo, el vector que va desde el punto   
P
  hasta el punto   
Q



</p>
<pre>\stackrel{\longrightarrow}{PQ} \, = \, Q \, - \, P \, = \, 
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, -1, \, -2, \, -3 \,
</pre>
<p>\right)
\, - \,
\left(
</p>
<pre> \, 1, \, 2, \, 3 \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \,<math>
</pre>
<p>r
  en forma vectorial es:


<center> 
\left(
</p>
<pre> \, x, \, y, \, z \,
</pre>
<pre> \, 1, \, 2, \, 3 \,
</pre>
<p>\right)
\, + \, \lambda
\left(
</p>
<pre> \,  -2, \, -4, \, -6 \,
</pre>
<p>\right)


En forma paramétrica es:



r:
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x & = & 1 \, - \, 2 \lambda 
   \\
   y & = & 2 \, - \, 4 \lambda 
   \\
   z & = & 3 \, - \, 6 \lambda 
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


En forma continua es:



r: \, \frac{x \, - \, 1}{-2} \, = \, \frac{y \, - \, 2}{-4} \, = \,
\frac{z \, - \, 3}{-6}


En forma implicita es:



r: \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{c}
   2 \cdot x \, - \, y \, = \, 0
   \\
   3 \cdot x \, - \, z \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


   
 
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