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Dudas:Ecuacion general del plano (2)

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: Pues como se explica en la entrada de wikillerato Ecuaciones del plano, un plano está perfectamente definido, si conoces 3 puntos que pertenecen a ese plano. A partir de esos 3 p...)
Revisión actual (10:26 29 nov 2011) (editar) (deshacer)
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Revisión actual

Pues como se explica en la entrada de wikillerato Ecuaciones del plano, un plano está perfectamente definido, si conoces 3 puntos que pertenecen a ese plano. A partir de esos 3 puntos, existen 4 formas de expresar un plano en forma de ecuaciones:

  1. Ecuación en forma vectorial
  2. Ecuación en forma paramétrica
  3. Ecuación en forma general
  4. Ecuación normal


Si partes de la ecuación normal de un plano:

ax + by + cz = d


puedes hayar fácilmente 3 puntos que pertenezcan a dicho plano, por ejemplo, si tienes la ecuacion normal de un plano cualquiera:

x + 2y + z = 1


puedes elegir valores x e y, para después calcular z:

x = 1, y = 1  \Rightarrow  z = 1 - x - 2y = 1 - 1 - 2 = -2


por lo que ya tendríamos un punto que pertenece al plano,

$P_{1}$ = ( 1, 1, -2)


Si hacemos lo mis otras dos veces, obtenemos los tres puntos que definen mi plano:

x = 0, y = 0  \Rightarrow  z = 1 - x - 2y = 1 - 0 - 0 = 1

$P_{2}$ = ( 0, 0, 1)

x = -1, y = -1  \Rightarrow  z = 1 - (-1) - 2(-1) = 1 + 1 + 2 = 4

$P_{3}$ = ( -1, -1, 4)


A partir de estos tres puntos puedes calcular 2 vectores que pertenecen al plano:

\vec{\mathbf{u}} = $P_{2}$ - $P_{1}$ = ( 0, 0, 1) -  ( 1, 1, -2) =  ( -1, -1, 3)

\vec{\mathbf{u}} = $P_{3}$ - $P_{1}$ = ( -1, -1, 4) -  ( 1, 1, -2) =  ( -2, -2, 2)

Y siguiendo los pasos que se explican en la página Ecuaciones del plano, puedes hayar la ecuanción del plano en forma general, ya que se define a partir de un punto $P_{1}$ y 2 vectores \vec{\mathbf{u}} y \vec{\mathbf{v}}.

Para hayar dicha ecuación sólo hay que sustituir nuestros valores en el siguiete determinante e igualarlo a cero


\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, - \, x_0 & u_x & v_x
   \\
   y \, - \, y_0 & u_y & v_y
   \\
   z \, - \, z_0 & u_z & v_z
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = 0

Por lo que desarroyando el siguiente determinante hayarías dicha ecuanción:


\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, - \,  1 & -1 & -2
   \\
   y \, - \,  1 & -1 & -2
   \\
   z \, + \, 2 &  \ 3 & \  2
   \\
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = 0

   
 
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