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Dominio y recorrido

De Wikillerato


Tabla de contenidos

Definición de dominio


En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa función.


Ejemplo


Las funciones


\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R



x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}



\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R



x \longrightarrow \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}

son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.


Observese que, en ambos casos, la imagen de 
x
se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre 
x
).


Sin embargo, cuando nos dicen que la función es


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}

y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos están pidiendo es el mayor dominio posible, el conjunto de todos los números reales 
x
para los cuales existe 
\frac{1}{x}
, es decir,   
\left\{
</p>
<pre> \, x \in \mathbb{R} \, \left| \, \exists \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
   \, \right. 
</pre>
<p>\right\}
,  que en el ejemplo que estamos considerando es


\mathbb{R} - \left\{ \, 0 \, \right\}

(Todos los números reales excepto el cero ).


Método para hallar el dominio


Un procedimiento de obtención del dominio de una función 
\mathrm{f}
es quitar a 
\mathbb{R}
todos los 
x
en los que la función no está definida.


En general, la función 
\mathrm{f}
no está definida en 
x
cuando al evaluar 
\mathrm{f}
en 
x
nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":

  1. 1. Divisón por cero.
  1. 2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).
  1. 3. Raíz de orden par de un número negativo.


Ejemplo


Veamos como podemos hallar el dominio de


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x -
</p>
<pre>   2}}
</pre>
<p>

Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de 
x
para los cuales no existe 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
.


La raíz de un número negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos del dominio aquellos valores de 
x
que sean solución de la inecuación


0 > \frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}

La función


\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}

es negativa cuando   
\log \left( \, x \, \right)
  y   
x - 2
  tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   \log \left( \, x \, \right) > 0
   \\
   0 > x - 2 
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

o bien, cuando ( caso 2 )



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   0 > \log \left( \, x \, \right)
   \\ 
   x - 2 >  0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

Analicemos primero el caso 1.


La solución de


\log \left( \, x \, \right) > 0

es


x \in \left( \, 1, \, \infty \, \right)

mientras que la solución de


0 > x - 2

es


x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)

Por lo tanto, el caso 1 se da cuando


x \in  \left( \,  -\infty, \,  2 \,  \right) \cap  \left( \,  1, \,  \infty \,
\right) = \left( \, 1, \, 2 \, \right)


Analicemos, a continuación, el caso 2.


La solución de


0 > \log \left( \, x \, \right)

es


x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)

mientras que la solución de


x - 2 > 0

es


x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right)

Por lo tanto, el caso 2 se da cuando


x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right) \cap \left( \, 0, \, 1 \, \right) =
\emptyset

Es decir, este caso nunca se da ( 
\emptyset = 
conjunto vacio ).


El dos tampoco está en el dominio de 
\mathrm{f}
porque cuando   
x = 2
  se tiene una división por 0 en


\sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}}

Concluimos así, que el dominio de 
\mathrm{f}
es


\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) =
\left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)


Dominio y gráfica


El conocer el dominio de una función 
\mathrm{f}
nos va a permitir identificar bandas o franjas verticales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de 
\mathrm{f}
se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).


Ejemplo


En el ejemplo anterior el dominio de 
\mathrm{f}
es


\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]

La gráfica de 
\mathrm{f}
tiene un punto en la recta vertical 
\mathrm{r}
de ecuación   
x = 1
  pero no puede tener ningún punto, ni en la recta vertical 
\mathrm{s}
de ecuación   
x = 2
  ni en ningún punto en la franja vertical delimitadas por las rectas 
\mathrm{r}
y 
\mathrm{s}
.


Recorrido y gráfica


Análogamente, el conocer el dominio de una función 
\mathrm{f}
nos va a permitir identificar bandas o franjas horizontales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de 
\mathrm{f}
se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).


Ejemplo


El recorrido de la función


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)

es   
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
,   lo cual significa que deberemos dibujar la gráfica en la banda horizontal delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones   
y = -1
  e   
y = 1
,   ya que ningún punto de la gráfica se encuentra fuera de esta banda horizontal.

   
 
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