Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Distribuciones continuas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (08:13 11 jun 2010) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.158.48.52 (Talk); a la última edición de 195.55.97.176)
 
(9 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 33: Línea 33:
<br/>
<br/>
-
2. El área total entre la curva y el eje de abcisas es uno.
+
2. El área total entre la curva y el eje de abscisas es uno.
<br/>
<br/>
Línea 61: Línea 61:
\right]
\right]
</math>
</math>
-
, se define de la siguiene manera:
+
, se define de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
Línea 140: Línea 140:
\right]
\right]
</math>
</math>
-
, se define de la siguiene manera:
+
, se define de la siguiente manera:
<br/>
<br/>
Línea 215: Línea 215:
[[Imagen:distribucionNormalDF.png|frame|Funciones de distribución de la distribución normal
[[Imagen:distribucionNormalDF.png|frame|Funciones de distribución de la distribución normal
-
para distintos valores de los parametros]]
+
para distintos valores de los parámetros]]
La distribución normal describe fenómenos en cuyo resultado final interviene gran número
La distribución normal describe fenómenos en cuyo resultado final interviene gran número
-
de factores independientes entre sí. Las principales caracteristicas de la función de
+
de factores independientes entre sí. Las principales características de la función de
densidad de la distribución normal son las siguientes:
densidad de la distribución normal son las siguientes:
Línea 248: Línea 248:
<br/>
<br/>
-
2. Posee un máximo en el punto de abcisa &nbsp;
+
2. Posee un máximo en el punto de abscisa &nbsp;
<math>
<math>
x \, = \, \mu
x \, = \, \mu
Línea 256: Línea 256:
<br/>
<br/>
-
3. Tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abcisa &nbsp;
+
3. Tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abscisa &nbsp;
<math>
<math>
x_1 \, = \, \mu \, + \, \sigma
x_1 \, = \, \mu \, + \, \sigma
Línea 268: Línea 268:
<br/>
<br/>
-
4. El eje de abcisas es una asíntota de la curva.
+
4. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
<br/>
<br/>
Línea 280: Línea 280:
X
X
</math>
</math>
-
&nbsp; sigue una distribución normal de parametros &nbsp;
+
&nbsp; sigue una distribución normal de parámetros &nbsp;
<math>
<math>
\mu
\mu
Línea 317: Línea 317:
----
----
 +
 +
<br/>
 +
 +
La distribución binomial se puede aproximar por la normal si se cumple que:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
n \cdot p \ge 5 \qquad \mathrm{y} \qquad n \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) \ge 5
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo===
<br/>
<br/>
Línea 332: Línea 348:
<br/>
<br/>
-
La distribución binomial se puede aproximar por la normal si se cumple que:
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
n \cdot p \ge 5 \qquad \mathrm{y} \qquad n \cdot \left( \, 1 \, - \, p \, \right) \ge 5
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
Cuando estas condiciones se verifican la distribución normal se aproxima a la
Cuando estas condiciones se verifican la distribución normal se aproxima a la

Revisión actual

Tabla de contenidos


Función de densidad


Definición


Una función   
\mathrm{f}\left( \, x  \, \right)
  es la función de densidad de una variable continua   
X
  si cumple:


1. 
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \ge 0
  en todo   
x
  del intervalo en el que está definida.


2. El área total entre la curva y el eje de abscisas es uno.


3. La probabilidad de que la variable tome valores del intervalo   
\left[
</p>
<pre>  \, x_i, \, x_j \,
</pre>
<p>\right]
  es el área bajo el trozo de curva correspondiente a dicho intervalo.


Ejemplo


La función de densidad de una variable aleatoria continua   
X
, cuyos valores se distribuyen uniformemente en   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
, se define de la siguiente manera:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   \frac{1}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b  \, \right]
   \\
   0  & \mathrm{si} & x \not\in \left[ \, a, \, b  \, \right]
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Función de distribución


Definición


Una función   
\mathrm{F}\left( \, x  \, \right)
  es la función de distribución de una variable aleatoria   
X
  si:


1. La derivada de   
\mathrm{F}\left( \, x  \, \right)
  es la función de densidad de la variable   
X
.


2. 
\mathrm{F}\left( \, x  \, \right)
  es cero para todos los valores menores que el menor valor de la variable.


3. 
\mathrm{F}\left( \, x  \, \right)
  es uno para todos los valores mayores que el mayor valor de la variable.


Ejemplo


La función de distribución de una variable aleatoria continua   
X
, cuyos valores se distribuyen uniformemente en   
\left[
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
, se define de la siguiente manera:



\mathrm{F}\left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   0  & \mathrm{si} & a > x 
   \\
   \frac{x \, - \, a}{b \, - \, a} & \mathrm{si} & x \in \left[ \, a, \, b  \, \right]
   \\
   1  & \mathrm{si} & x > b 
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Distribución normal


Definición


Una variable aleatoria continua   
X
  sigue una distribución normal de media   
\mu
  y desviación tipica   
\sigma
, si verifica las siguientes condiciones:


1. El recorrido de la variable   
X
  es toda la recta real.


2. La función de densidad es de la siguiente forma:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, - \, \mu \,
 \right)
 ^ 2 / 2\sigma^2
</pre>
<p>}


Imagen:DistribucionNormalPDF.png
Funciones de densidad de la distribución normal para distintos valores de los parametros
Imagen:DistribucionNormalDF.png
Funciones de distribución de la distribución normal para distintos valores de los parámetros

La distribución normal describe fenómenos en cuyo resultado final interviene gran número de factores independientes entre sí. Las principales características de la función de densidad de la distribución normal son las siguientes:


1. Es simétrica respecto de la recta   
x \, = \, \mu
, pues:



\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, \mu \, + \, x_0 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, \mu \, - \, x_0 \,
</pre>
<p>\right)
, \qquad \forall x_0 \in R


2. Posee un máximo en el punto de abscisa   
x \, = \, \mu
, y no tiene mínimos.


3. Tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abscisa   
x_1 \, = \, \mu \, + \, \sigma
  y   
x_2 \, = \, \mu \, - \, \sigma
.


4. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.




Si la variable aleatoria   
X
  sigue una distribución normal de parámetros   
\mu
  y   
\sigma
, entonces:


1. La probabilidad de que   
\mu \, + \, \sigma > X > \mu \, - \, \sigma
  es   0,6825.


2. La probabilidad de que   
\mu \, + \, 2 \sigma > X > \mu \, - \, 2 \sigma
  es   0,9544.


3. La probabilidad de que   
\mu \, + \, 3 \sigma > X > \mu \, - \, 3 \sigma
  es   0,9973.




La distribución binomial se puede aproximar por la normal si se cumple que:



n \cdot p \ge 5 \qquad \mathrm{y} \qquad n \cdot \left( \, 1 \, - \, p  \, \right) \ge 5


Ejemplo


La distribución normal estándar es la distribución normal con   
\mu \, = \, 0
  y   
\sigma \, = \, 1
.



Cuando estas condiciones se verifican la distribución normal se aproxima a la distribución normal de parametros:



\mu \, = \, n \cdot p \qquad \mathrm{y} \qquad \sigma \, = \, \sqrt
{
</p>
<pre> n \cdot p \cdot
 \left(
  \, 1 \, - \, p \,
\right)
</pre>
<p>}


   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.